在Stokes方程中施加混合有限元方法的相容条件

13

$\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}}$ 假设我们有以下斯托克斯流模型方程：

，其中粘度是一个函数，对于标准的混合有限元，假设我们使用稳定对：Crouzeix-Raviart空间表示速度，元素方向恒定空间表示压力，我们有以下变体形式：

{\begin{aligned} - d i v (ν \nabla u) + \nabla p & = f \\ d i v u & = 0 \end{aligned}

$\tag{1} \left\{ \begin{aligned} -\mathrm{div}(\nu \nabla \v{u}) + \nabla p &= \v{f} \\ \mathrm{div} \v{u} &= 0 \end{aligned} \right.$

ν (x)

$\nu(x)$

V_{h}

$\v{V}_h$

u

$\v{u}$

S_{h}

$S_h$

p

$p$

L ([u, p], [v, q]) = \int_{Ω} ν \nabla u : \nabla v - \int_{Ω} q d i v u - \int_{Ω} p d i v v = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) = \int_{\Omega} \nu \nabla\v{u}:\nabla \v{v} -\int_{\Omega} q\mathrm{div} \v{u} -\int_{\Omega} p\mathrm{div} \v{v} =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

而且我们知道，由于拉格朗日乘数可以确定为一个常数，因此最终组装的矩阵应具有零空间，为避免这种情况，我们可以将某些元素上的压力强制为零，这样我们就不必解决一个奇异的系统。 $p$ $1$ $p$

所以这是我的问题1：

（Q1）除了在某些元素上强制以消除标准混合有限元的内核之外，还有其他方法吗？还是说，那里有什么能够求解奇异系统以获得兼容解决方案的求解器？（或欢迎一些参考文献） $p=0$

约的相容性，对于（1）它应该是和漂亮的小动作是计算是我们从线性系统的解得到减去通过其加权平均：

\int_{Ω} ν^{- 1} p = 0

$\int_{\Omega} \nu^{-1} p = 0$

\tilde{p}

$\tilde{p}$

p

$p$

\begin{matrix} (2) & \tilde{p} = p - \frac{ν}{| Ω |} \int_{Ω} ν^{- 1} p \end{matrix}

$\tag{2} \tilde{p} = p - \frac{\nu}{|\Omega|}\int_{\Omega} \nu^{-1} p$

然而，近来我刚实现稳定化的混合有限通过Bochev，Dohrmann，和Gunzberger Stokes方程元件 $P_1-P_0$ ，其中它们中加入稳定化的术语的变分公式（1）：其中是从分段恒定空间中的投影到连续分段，和原来的混合有限元的恒定内核消失了，然而，奇怪的事情发生，（2）不再起作用，我从扩散方程的接口问题中产生了测试问题，这是我在压力得到的结果，右边的是真实解，左边的是数值近似值：

\tilde{L} ([u, p], [v, q]) = L ([u, p], [v, q]) - \int_{Ω} (p - Π_{1} p) (q - Π_{1} q) = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\widetilde{\mathcal{L}}([\v{u},p],[\v{v},q]) =\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) -\int_{\Omega} (p - \Pi_1 p)(q -\Pi_1 q) =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

Π_{1}

$\Pi_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

p

$p$

斯托克斯测试1

但是，如果是一个常数，则测试问题可以很好地执行： $\nu$ 斯托克斯测试2

我猜这是因为我施加兼容性条件的方式，因为它与整个系统的inf-sup稳定性有关，所以这是我的第二个问题：

$p$ $p$

finite-element

— 曹树豪
source

MathML不起作用？

— 曹书豪2012年

我们在StackExchange上使用MathJaX，您发布的所有内容都可以很好地显示，感谢您的详细问题。

— 阿隆·艾玛迪亚

8

$\int_{\partial \Omega} u \cdot n = 0$ $\partial \Omega$

$\nabla p$ $\nabla (p + c)$ $c$ $p$ $c$ $\overline{p}=p_\mathrm{ref}$ $p(x_\mathrm{ref}) = p_\mathrm{ref}$ $Bp$ $\nabla p$ $B$

$p$

以下是一些解决您的问题的建议：

$\nu$ $x$
您的速度场满足兼容性约束吗？
$p$ $p-p_\mathrm{exact}$
$B$

— 克里斯
source

2

至于（Q1），您可以为鞍点问题选择一个求解器，该求解器可以为您的系统计算最小二乘解。然后，可以对乘数施加附加条件，例如设置特定的自由度，施加特定的平均值。

通常，我认为这个答案是（Q1），您可以使用线性约束来区分不同的常数。

此约束可以在后期处理步骤中进行，也可以通过适当选择试用空间来施加（例如，如果您遗漏了一个自由度）。

— 舒哈洛
source