在数学上，为什么质量矩阵/载荷矢量集总起作用？

我知道人们经常用集总的对角矩阵代替一致的质量矩阵。在过去，我还实现了一个代码，其中负载矢量以集总方式而不是FEM一致方式进行组装。但是我从来没有研究过为什么我们首先被允许这样做。

集总背后的直觉是什么，它允许将其应用于质量和载荷矢量？它的数学依据是什么？在什么情况下不允许集总/不是质量和载荷矢量的良好近似？

在有限元方法中，矩阵项和右侧项定义为积分。通常，我们不能精确地计算出这些并应用正交。但是有许多正交公式可供选择，而且人们常常以一种方式选择它们，即（i）正交引入的误差与离散化的误差处于同一数量级，或者至少基本上没有恶化，并且（ii）矩阵具有某些便利的特性。

质量集总就是这种工作的一个示例：如果选择一个特定的正交公式（即，一个正交点位于有限元插值点的正交公式），则生成的质量矩阵碰巧是对角线的。这对于计算实现非常方便，这也是人们使用这些正交公式的原因。这也是它“起作用”的原因：正交公式的这种特殊选择仍然具有较高的阶数。

对角矩阵在加快数值计算优势明显，和沃尔夫冈Bangerth的答案是如何很好地解释了计算对角质量矩阵，但它没有回答OP的问题：“为什么这个工作 ”，在意义上的“为什么它非常接近您正在建模的物理学”。

从概念上讲，您可以将元素的响应分为三个部分：刚体的平移运动，围绕元素质心的刚性旋转以及元素的变形。

$\frac 1 2 v^T M v$$v$

$a$$a^3$$a^5$

因此，您实际上只需要运动的刚体部分的“良好”近似值（即6个自由度），实际上，刚体平移的KE （即3个自由度）的近似就可以收敛，因为元素大小为减少。

元素矩阵的对角项包含足够多的独立参数，以足够的精度表示这3个或6个KE项。实际上，对于高阶元素，您可以使用质量对角线质量矩阵，其中中间节点的对角线项为零。

请注意，这与单元势能完全不同，在单元势能中，刚体平移和旋转的贡献为零，唯一重要的是代表与单元变形相对应的应变能。因此，对角刚度矩阵将不是一个可行的想法！

除其他答案外，在某些情况下，质量矩阵中的误差对预期结果没有影响。

$K(u) \space u = f(u)$$\hat{u}$$K(u) \space u + C(u) \space \dot{u} + M \space \ddot{u} = f(u)$$M$$C$$\dot{u} = \ddot{u} = 0$$M$

$M$$M^{-1}$

^{1尽管使用“正确的”质量矩阵对动态物理行为的推理当然更容易-例如，集总质量矩阵可能会不适当地保留角动量。}