不连续rs ODE的数值方法

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具有不连续右侧的ODE数值求解的最新方法是什么？我最感兴趣的是分段平滑的右侧函数，例如sign。

我正在尝试解决以下类型的方程式：

\begin{aligned} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = {\begin{cases} (| F_{external} | - | F_{friction} |) sign (F_{external}) & : | F_{external} | < | F_{friction} | \\ 0 & : otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} \dot x &= v\\ \dot v &= \begin{cases} (|F_\text{external}| - |F_\text{friction}|) \mathop{\rm sign} (F_\text{external}) & :|F_\text{external}| < |F_\text{friction}|\\ 0 & : \text{otherwise} \end{cases} \end{align*}$

ode

— 安德烈·舍夫利亚科夫（Andrey Shevlyakov）
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嗨@AndreyShevlyakov，欢迎来到Scicomp！您是否对特定类别的ODE感兴趣？

— 保罗

嗨，保罗！是的，我目前正在尝试实现一种粘滑摩擦模型。

— Andrey Shevlyakov 2012年

您能否在问题中包含要求解的方程式？这将有助于缩小适用于您问题的特定方法的范围。

— 保罗

我在帖子中添加了示例

— Andrey Shevlyakov 2012年

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当我研究ACSL时，它包括一个寻根器，因此您可以使它搜索速度等于零的时间，然后从该点开始使用新的rhs重新开始。

— Mike Dunlavey 2012年

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请参阅David Stewart在此主题上的新书（2011年），《不平等的动力学：影响和硬约束》。分析章节中多次提到库仑摩擦问题。

第8章专门介绍非光滑ODE和DAE的数值方法。它主要提倡对非光滑性进行特殊处理的完全隐式Runge-Kutta方法。请注意第8.4.4节，该节指出，如果您未准确定位非平滑点，则所有方法都会降级为一阶精度，因此隐式欧拉（对非平滑进行了修改）在实践中很流行。此外，与无限维不等式问题的解决方案通常不分段平滑的，因此理论上仅提供会聚，尽管在实践中， $\mathcal{O}(h)$ $\mathcal{O}(h^{1/2})$ $\mathcal{O}(h)$ 经常被观察到。

— 杰德·布朗
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太谢谢了！您知道某处是否有可用的实现？

— Andrey Shevlyakov 2012年

这不是我所知道的，但是如果您有一个静态变分不等式的求解器，那么简单方案的实现就不会太困难。

— 杰德·布朗

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我所知道的最重要的参考文献是David Stewart的论文，已有20多年的历史了：

右手间断的常微分方程的高精度数值方法

摘要引用了一些重要的早期著作。这里的关键词是微分包含。

— 大卫·凯奇森
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$g(t, x(t)) \in \mathbb{R}$ $>0$ $<0$

例如，如果您有一个带有块的移动质量，则质量与块之间的距离可以用作零交叉函数。

许多ODE求解器（例如SUNDIALS CVODE）会自动检查在上一个时间步中是否有过零函数更改了其符号。如果是这种情况，则使用寻根方法确定根的确切位置。然后可以在该特定位置重新启动求解器。这可以由求解器本身自动完成，也可以由调用代码手动完成。

— 弗洛里安·布鲁克（Florian Brucker）
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出于搜索目的：人们还可以说“事件地点”；Hairer /Nørsett/ Wanner对此进行了很好的讨论。

— JM