浮点数的相对比较

我有一个f(x, y)返回双浮点数的数值函数，该数字实现了一些公式，并且我想检查参数组合的所有解析形式对解析表达式的正确性x以及y我是否感兴趣。比较计算所得的和分析浮点数？

假设两个数字是a和b。到目前为止，我一直在确保绝对（abs(a-b) < eps）和相对（abs(a-b)/max(abs(a), abs(b)) < eps）误差均小于eps。这样，即使数字在1e-20左右，它也会捕获数字不准确的地方。

但是，今天我发现了一个问题，其数值a和解析值为b：

In [47]: a                                                                     
Out[47]: 5.9781943146790832e-322

In [48]: b                                                                     
Out[48]: 6.0276008792632078e-322

In [50]: abs(a-b)                                                              
Out[50]: 4.9406564584124654e-324

In [52]: abs(a-b) / max(a, b)                                                  
Out[52]: 0.0081967213114754103

因此，绝对误差[50]（显然）很小，但是相对误差[52]很大。所以我认为我的程序中有错误。通过调试，我意识到这些数字是不正常的。因此，我编写了以下例程来进行适当的相对比较：

real(dp) elemental function rel_error(a, b) result(r)
real(dp), intent(in) :: a, b
real(dp) :: m, d
d = abs(a-b)
m = max(abs(a), abs(b))
if (d < tiny(1._dp)) then
    r = 0
else
    r = d / m
end if
end function

其中tiny(1._dp)在我的计算机上返回2.22507385850720138E-308。现在一切正常，相对误差为零，一切正常。特别是，上述相对误差[52]是错误的，这仅是由于非正规数的准确性不足引起的。我对rel_error函数的实现正确吗？我是否应该检查一下这个值abs(a-b)是否小于small（= normal），然后返回0？还是我应该检查其他组合，例如 max(abs(a), abs(b))？

我只想知道什么是“正确”的方法。

您可以使用isnormal()从math.h（C99或更高版本，POSIX.1或更高版本）直接检查异常情况。在Fortran中，如果模块ieee_arithmetic可用，则可以使用ieee_is_normal()。要更精确地模糊模糊相等，您必须考虑非正规数的浮点表示形式，并确定要使结果足够好意味着什么。

更重要的是，要相信任何一个结果都是正确的，您必须确保在中间步骤中不会丢失太多数字。具有异常的计算通常是不可靠的，应通过在内部重新调整算法来避免这种情况。为确保内部缩放成功，我建议使用激活浮点异常feenableexcept() C99或ieee_arithmeticFortran中的模块。

尽管您可以让应用程序捕获浮点异常引发的信号，但我尝试过的所有内核都会重置硬件标志，因此fetestexcept()不会返回有用的结果。当与一起运行时-fp_trap，PETSc程序（默认情况下）将在出现浮点错误时打印堆栈跟踪，但不会识别出有问题的行。如果在调试器中运行，则调试器将保留硬件标志并中断令人讨厌的表达式。您可以通过fetestexcept从调试器进行调用来检查确切原因，其中结果是以下标志的按位“或”（值可能因计算机而异，请参见fenv.h；这些值适用于带有glibc的x86-64）。

• FE_INVALID = 0x1
• FE_DIVBYZERO = 0x4
• FE_OVERFLOW = 0x8
• FE_UNDERFLOW = 0x10
• FE_INEXACT = 0x20

Donald Knuth在“计算机编程艺术”的第2卷“ Seminumerical Algorithms”中提出了一种浮点比较算法的建议。它由Th在C中实现。Belding（请参阅fcmp软件包），在GSL中可用。

最佳舍入的非规范化数可能确实具有较高的相对误差。（将其冲洗为零，同时仍将其称为相对错误会产生误导。）

但是接近零，计算相对误差是没有意义的。

因此，即使在达到非正规数之前，您也可能应该切换到绝对精度（即在这种情况下要保证的绝对精度）。

$y$$x$$|y-x|\le absacc+relacc*\max(|x|,|y|)$

这样，您的代码用户就可以准确地知道他们真正具有多少精度。