冯·诺伊曼稳定性分析的有限差分方法的替代方法

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我正在研究耦合的一维多孔弹性方程（比奥模型），给出为：

- (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0

$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

\frac{\partial}{\partial t} [γ p + \frac{\partial u}{\partial x}] - \frac{κ}{η} [\frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}] = q (x, t)

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$ 在域并具有边界条件：

Ω = (0, 1)

$\Omega=(0,1)$

$p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ at and在。 $x=0$ $u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$ $x=1$

我使用中心有限差分方案离散了这些方程式：

(λ + 2 μ) \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - 2 u_{i}^{t + 1} + u_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}} + \frac{p_{i + 1}^{t + 1} - p_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x} = 0

$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$

γ \frac{p_{i}^{t + 1} - p_{i}^{t}}{Δ t} + \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - u_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x Δ t} - [\frac{u_{i + 1}^{t} - u_{i - 1}^{t}}{2 Δ x Δ t}] - \frac{κ}{η} [\frac{p_{i + 1}^{t + 1} - 2 p_{i}^{t + 1} + p_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}}] = q_{i}^{t + 1}

$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$

我目前正在通过分析方案的一致性和稳定性来制定方案收敛的细节。一致性部分对我来说似乎很简单，但是我已经预见到稳定性分析会遇到一些困难。首先，有两个变量和两个方程。其次，第二个方程中还有一个混合的时空导数项。我熟悉冯·诺伊曼（von neumann）稳定性分析，可以看到用这种方法建立稳定性将非常困难。我可以使用冯·诺依曼分析的替代方法吗？

— 保罗
source

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如果您对使用方程组进行分析感到不舒服，只需将第一个方程相对于区分，第二个方程相对于区分。然后使用混合偏导数的等式消除。

t

$t$

x

$x$

u

$u$

— David Ketcheson

@DavidKetcheson：有趣。本质上，您建议我可以将系统简化为单个变量，并对进行标准von neumann分析，而又不会失去对？的一般性。

p

$p$

u

$u$

— 保罗

无论是将其编写为系统还是标量PDE，都是同样的问题。

— David Ketcheson

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如果用（至少用于分析），则可以将系统写为，其中所有常数都设置为，下标表示变量和微分运算符的空间离散化。然后通过隐式欧拉近似来获得您的方案。 $\frac{\partial u}{\partial x}$ $u_x$

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ I & I \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ - Δ_{h} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{h} (t) \\ 0 \end{matrix}] (*)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$

1

$1$

_{h}

${}_h$

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$

现在，微分代数（DAE）结构很明显。对于变量，既有微分（时间）方程，也有代数方程。

如果您可以证明是可逆的，请参见。该预印本[p。[3]和下面的编辑，比DAE的索引为1或无奇异且隐式的Euler已知是收敛的，请参见本书中的定理5.12 。（免责声明：这本书不是由我的博士导师免费提供和撰写的） $\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

使用这种方法，您可能会避开稳定性分析。

为了直接证明稳定性，我将尝试使用等式通过特征函数应用von Neumann稳定性分析，并研究对特征函数的影响。 $L^2$ $(*)$ $\Delta_h$ $\partial_h$

但是，如果无法为建立稳定性，则并不意味着您的方案就不会收敛-因为替换了。一般而言，对于逼近实际变量的方案，而不是逼近其导数的方案，人们可以期望其稳定性。 $(*)$ $u\leftarrow u_x$

附录： 如果可以将DAE转换为ODE而无需微分方程，则DAE被称为索引1。

假设DAE的形式为然后可逆性意味着，存在一个变量转换最终交换了系数的列，以便与可逆（全等级属性）和可逆（Schur补码）。

[\begin{matrix} E_{1} \\ 0 \end{matrix}] \dot{y} + [\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] y = f .

$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$

\tilde{y} \to y

$\tilde y \to y$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] \to [\begin{matrix} {\tilde{E}}_{11} & {\tilde{E}}_{12} \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$

{\tilde{A}}_{22}

$\tilde A_{22}$

A_{2}

$A_2$

{\tilde{A}}_{11} - {\tilde{E}}_{12} {\tilde{A}}_{22}^{- 1} {\tilde{A}}_{21}

$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$

对于系统这意味着，与所定义的代数部分可用于求解一部分的。然后，可以从微分部分（的第二个方框行）中消除，以获得剩余变量的ODE。 $(*)$ $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ $\tilde y_2$ $(p_h,u_{x,h})$ $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ $(*)$

— 一月
source

这是一个非常有趣的技术。我查看了您引用的论文，很好奇您如何得出结论必须是可逆的。您应用了哪个定理？

[\begin{array}{cc} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ I & I \end{array}]

$\left[\begin{array}{cc}-\partial_h &\partial_h\\ I & I \end{array}\right]$

— 保罗

@保罗我没有找到参考的一个定理，所以我将插入参数到我的答案...

— 扬

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我不熟悉这里给出的方程式，但是我记得在课程中学习了另一种检查数值方案稳定性的方法。称为修正方程分析。

这是一个很好的参考，

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

在以上参考文献中，建立了基于修正方程分析的稳定性理论与冯·诺依曼稳定性分析之间的联系。

经过一些在线搜索，我发现了以下参考文献，

这个论述在地震频率比奥多孔弹性方程的有限差分模拟。它也有关于数值方案稳定性的部分。

这个纸呈现解耦耦合系统，并且检查数字格式的稳定性的解决策略。

— 苏博德
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我没有对上述方程式进行修改后的方程式分析，但是由于问题要求冯·诺依曼分析的替代方法，因此我写了以上答案。它很可能无法回答问题。但是有些人可能会发现列出的参考文献对他/她的工作很有用。

— Subodh

感谢您的参考！我可以看到您的“ 修改后的方程式分析”论文中所需的表格与我正在使用的方程式不完全匹配，但是学习新的分析技术非常有趣！

— 保罗