函数的有理逼近的开源实现

我正在寻找某种对函数有理近似的开源实现（Python，C，C ++，Fortran都可以）。文章[1]中的内容。我给了它一个函数，它给了我两个多项式，它们的比率是在给定间隔上的近似值，并且误差以相同的幅度振荡，并且是一个最佳近似值，或者接近于它。

这是我发现的：

• 看起来chebfun可以做到，但我无权使用Matlab *。

• 在数字食谱（NR）的5-13节“理性切比雪夫近似”中有一个简单的程序。

• Mathematica具有EconomizedRationalApproximation和MiniMaxApproximation

我想知道是否有比NR代码更新的东西（可能经过更好的测试）。

我的应用程序是我有一组特殊功能，大约10个，以超几何级数或具有数值抵消的公式给出，我想拥有一个健壮，快速且准确的评估函数，称为Hartree Fock计算中计算两个粒子矩阵元素的最内层循环。我在[2]处提供了一个对我有用的函数的简单示例。如您所见，它要么使用直接公式，要么使用我使用SymPy计算的x = 0周围的序列。它可以工作，但准确性不高，大约x = 1时，大约一半的有效数字会丢失（但是对于x = 0.1以及x = 1e5，它几乎对所有有效数字都是准确的）。我正在寻找更好的近似值。

[1] Deun，J.和Trefethen，LN（2011）。Carathéodory-Fejér方法的有力实现，用于有理逼近。BIT数值数学，51（4），1039–1050。doi：10.1007 / s10543-011-0331-7（2010年6月电子版）

[2] https://gist.github.com/3831580

（*）chebfun网站也没有，它给我404，但是Pedro建议这一定是我的提供商问题。

这可能有帮助吗？http://www.alglib.net/interpolation/rational.php

一次完成最佳有理逼近通常可以通过Remez算法的“手动”迭代来完成：在对插值点的初始猜测中用（相对或绝对）交替符号误差对有理逼近进行插值，在其中找到一个（或多个）点实际误差超过了插值点和轴的误差（以保留交替的符号误差的方式交换这些点的一个或多个猜测点）。这是从头开始理解理论的好方法。当所需的准确度适中时，我发现电子表格的实现可以帮助我感觉自己的计算方式，并通过剪切和粘贴来解决问题。

$y=1/x$$1 \le x \le 2$

如果我们将直线降低“最大误差”点的距离的一半，那么我们将获得三个绝对误差的“等振荡”点，计算出两个端点以及内部的这个临界点。因此几乎可以通过检查找到对光滑凸函数的最佳线性多项式近似。

自v4.0起，Chebfun软件本身就是开源的（BSD样式的许可证）。不知道为什么到他们站点的链接可能在那个时候返回了404错误，但是现在是5.2.1。（他们也有一个GitHub存储库。）Chebfun项目的目标不仅是最佳的有理逼近，其中心概念是一个区间上（单变量实数）函数的类似于Matlab矢量的语法。

要完成循环，需要使其在Octave而不是Matlab 下工作。关于此的Octave-maintainers线程始于2010 年。Chebfun维护者/作者在2012年发表的一篇论文表明，从他们的角度来看，已经对Octave兼容性进行了一些努力。

查看与Chebfun相关的项目页面，这表明由于Chebfun软件是开源的，因此可能可以进行此移植，或使用此处列出的开源软件包之一，例如Olivier Verdier's pychebfun（Python Chebyshev函数）项目托管在GitHub。