高效拉格朗日预处理器

我想解决带有非线性等式约束的非线性问题，并且我正在使用带有惩罚正则项的增广拉格朗日函数，该函数众所周知会破坏我线性化系统的条件数（我是说每次牛顿迭代） 。惩罚期限越大，条件编号越差。有人会知道在特定情况下摆脱这种不良条件的有效方法吗？

更具体地说，我使用经典的增强型拉格朗日法，因为我有很多约束，这些约束通常可能是多余的。因此，将约束直角盲目地合并到原始变量中非常方便。我直接在KKT系统上尝试了其他基于变量消除或有效前置条件的更复杂的方法，但是由于约束冗余，我遇到了一些麻烦。

关于该问题变量被配制成按照我的形式拉格朗日 大号（Û，λ ）：= w ^（Û）+ ρ λ $\mathbf u =[u_1,\cdots,u_n]$

$$\mathcal L(\mathbf u,\lambda):= \mathcal W(\mathbf u) + \rho \lambda^T \,c(\mathbf u) + \frac{\rho}{2} c^2(\mathbf u)$$

所以一般在每个牛顿的目标迭代是解决形式的问题 随着（我们的约束的下降麻布） 甲（Û，ρ ）：= ∇ 2 ù w ^（Û）+ ρ Ç Ť（ù）ç （Û） 和 b （Û，ρ ）：= - （ ∇ û w ^（Û）+

$$A \Delta u = b$$ $$A(\mathbf u,\rho): = \nabla_{\mathbf u}^2 \mathcal W(\mathbf u) + \rho C^T(\mathbf u)C(\mathbf u)$$ 和资本 Ç是为 Ç （Û）：= ∇ ù Ç （Û）。 $$b(\mathbf u,\rho) :=- \big(\nabla_{\mathbf u}\mathcal W(\mathbf u) +(\rho +\lambda^Tc(\mathbf u)) \nabla_{\mathbf u}(\mathbf u)\big)$$ $C$$C(\mathbf u) := \nabla_{\mathbf u} c(\mathbf u)$

谢谢。

根据问题的结构，您可以直接解决病态的增强拉格朗日系统。例如，BDDC / FETI-DP可以求解原始形式的几乎不可压缩的弹性，其收敛速度与泊松比（子域上的分段常数，但具有任意跳跃）无关。同样，精确重现体积模式的多重网格方法可以具有此属性。这样的方法是针对特定问题的，通常，大笔罚款会导致系统难以进行先决条件。

为了在预处理器选择上提供更大的灵活性，我建议引入显式对偶变量并编写较大的鞍点系统

$$\begin{pmatrix}A & C^T \\ C & -\rho^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix}$$

$A - \tilde\rho C^T C$$\tilde \rho \le \rho$$-\rho^{-1} - C A^{-1} C^T$PCFIELDSPLIT

如果您可以更具体地了解问题的根源（最大程度地减少了什么，什么是制约因素），我可能会建议更具体的参考。

为KT条件下的破坏项引入额外的变量，您会发现一个更大的对称系统，其数值行为良好，只有惩罚因子的倒数进入矩阵。

$(A+\rho C^TC)x=b~$$\rho$$y=\rho Cx$$Ax+C^Ty=b$$Cx-\rho^{-1}y=0$