如何在3D 4节点元素上集成多项式表达式？

我想在3D的4节点元素上集成多项式表达式。关于FEA的几本书介绍了在任意平坦的4位元素上执行积分的情况。在这种情况下，通常的过程是找到Jacobi矩阵，并使用其行列式将积分基础更改为归一化的矩阵，在该规范中，我的积分极限更简单[-1; 1]，并且易于使用高斯-勒根德勒正交技术。

换句话说， 被简化为$\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$$\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

但是在2D情况下，我将平面任意元素更改为平面1但形状良好的正方形2乘以2。

3D 4节点元素通常并不平坦，但我想它仍然可以使用2D坐标系进行映射，而2D坐标系与笛卡尔坐标系有关。我无法弄清楚如何用{e，n}来表达{x，y，z}以及在这种情况下Jacobi矩阵的大小是多少（应该是正方形的）。

您正在将函数集成在嵌入的二维流形上；关于流形的分析书籍（例如Munkres的无障碍书籍，或Lee的关于流形的书籍）有助于讨论定义此类积分的理论。$\mathbb{R}^{3}$

假设是在流形上定义的实值函数，它是您的4节点3-D元素。$f$$\mathcal{M}$

您要计算：

$$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$$

假设是一个将映射到的函数。然后$\varphi$$[-1,1]^{2}$$\mathcal{M}$

$$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$$

（我使用这组注释来刷新我的存储器。）以上，是雅可比矩阵，和是其转置。$\mathrm{D}\varphi$$\varphi$$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

一旦您可以在写积分，就可以使用数值方法对其进行求值。$[-1,1]^{2}$

一些评论：

• 我很确定您的4节点3-D元素是流形。如果是，则函数存在（根据定义），是分段连续的（对于拓扑流形），并且是可逆的。查找具有这些属性的函数由您决定。$\varphi$
• 上面的论点假设是一个光滑流形，这意味着存在一个可连续微分。在您的情况下，您描述的元素可能无法连续区分。如果是这样，您可能仍然可以将流形划分为两个平滑的流形，然后上面的参数仍然成立。同样，您必须找到满足可逆性和连续微分性的。$\mathcal{M}$$\varphi$$\varphi$