傅里叶伪谱方法与数值耗散

使用傅立叶伪谱方法（Orzag＆Patterson，PRL，1972）使用FFT执行各向同性湍流的直接数值模拟。有关在湍流社区中广泛使用的方法的背景知识，请参见以下课程：http : //www.math.ualberta.ca/~bowman/m655/lab3d.pdf

使用所谓的 $2/3$ 去交易的规则包括

$$\begin{equation} \hat{u}(\mathbf{k},t)=0~~~~~~~~~~~~~~if~~~k > \frac{2}{3} k_{MAX} \end{equation}$$ 哪里 $t$ 是时候了 $\mathbf{k}$ 是波数， $k_{MAX}$ 是最大波数， $\hat{u}$ 是速度的频谱幅度。

脱脱是否充当数值耗散？换句话说，是否由于脱碳而导致能量泄漏？

卷积的去二阶化不充当数值耗散。实际上，仅当消除别名时，能量才被保存。

脱除基于FFT的卷积背后的想法是摆脱FFT所添加的额外项。卷积只是一个和，您可以通过计算和来计算它。但是，这确实很慢，因此最好对输入进行傅立叶变换并乘以结果，然后对傅立叶变换求逆，根据卷积定理，这与卷积相同。

但是卷积定理仅在输入为无限长时才有效。对于有限长度的输入，会显示不是物理的多余术语（别名）。脱位的要点是取回您尝试计算的原始方程式，同时仍然允许您使用FFT加快计算速度。

要了解脱碳功能，首先需要了解为什么要进行FFT。对我来说，加权残差法提供了最简单的框架：

1. 您正在将解决方案扩展为傅立叶模式的总和，并将其放入Navier-Stokes方程中。您的测试功能也是傅立叶基础。
2. 当将试验和测试功能相乘并取内积（即与适当的共轭积分）时，您会发现您有一个积分，您不能简单地评估它，因为它是非线性的。
3. 您可以使用统一的正交方案近似积分，在该方案中，您可以简单地对统一配置点处的值求和。
4. 请注意，如果使用的正交点是傅立叶模式的1.5倍，则正交对于二次非线性是精确的。这是三分之二的因素。
5. 最后，请注意，正交可以有效地计算为FFT。

可以将所有FFT魔术视为一种有效的近似正交方案，该方案可以精确地处理二次非线性。其他脱碳变体还具有其他技巧，可以使同一非线性类别的正交精确。

因此，要回答您的问题，脱去并不会增加耗散。可以看到，因为过程中的每个步骤都是精确的。

马尔科姆（Malcolm）对基于FFT的卷积和进行脱欧给出了专家解释。我的直觉告诉我，这仍然不是@abberation所需的完整答案，因此我将再讲几句话，以反映我对理解数值方法的努力。

消除混叠并不能起到数值耗散的作用，但是它与数值耗散的作用相同-它可以防止模拟爆炸。

您的模拟效果如何？

能量从高波数到低波数的非物理传递会导致不稳定（首先是不稳定）（通常是一个simptome-2h波，h网格节点距离，可以在网格上表示的最小波）。

其背后的原因是高波数混叠到可以由网格表示的那些低波数。这会导致“频谱阻塞”-高波数的振幅（读取能量）的非物理增加，随着您接近所表示波数的上限，这种情况会变得更糟。

第一种补救措施（菲利普斯，1959年）：过滤掉所表示的波数频谱的上半部，或使其等于零。

第二种补救措施（Orszag，1971年）：这种补救措施被称为Orszag的三三法则。史蒂文·史蒂文斯说：“滤除一半的波数是一种浪费，我们应该保留2 / 3N，而仅滤除较高的1 / 3N。”

结论。

我们的模拟有时会爆炸。如果您生活在有限体积的二阶宇宙中（就像这些线的作者一样），并且对光谱方法一无所知，那么它们会告诉您“哦，您的模拟爆炸了吗？请尝试使用一阶逆风而不是中心方案，或者混合延迟校正方法中，您的中心方案具有10％的迎风度，这会增加耗散，但会防止模拟爆炸！哦，您正在做LES？那么您不应该使用迎风度，除非您正在执行ILES，否则请使用中心方案和Smagorinsky将模拟最低尺度下发生的物理耗散。” 如果您生活在“光谱方法”领域，您将了解能量的非物理传递是如何发生的，并通过“三分法则”或“填充”找到了脱脱的补救方法。

我这篇文章的灵感来自J. Boyd撰写的精彩著作“ Chebyshev and Fourier Spectral Methods”，第11节。

我的建议是：

从身体或光谱上行动，但要思考！（用众所周知的“全球思考，本地行动”来解释。）

本身不存在与“去锯齿”相关联的能量泄漏，但是与截断相关的能量泄漏始终在有或没有脱去杂音的情况下执行。让我解释：

如果您有两个函数f和g，它们的光谱含量都高达模式k，则乘积fg的光谱含量将高达模2k。但是，您不希望表示的光谱内容在每个时间步长都加倍。因此，您要将产品fg 截断为前k个模式。这样，您将损失高于k的模式中包含的能量。

消除混叠（或消除混叠）可确保在fg表示中，最大为k的模式正确，但大于k的模式则不正确，因为无论如何它们都将被丢弃。