如何消除线性弹性中的刚体运动？

我想解决 $K u = b$ 哪里 $K$ 是我的刚度矩阵。但是，可能缺少一些约束，因此系统中可能仍然存在一些刚体运动（由于特征值零）。由于我使用CG求解线性系统，因此这是不可接受的，因为有时CG不会收敛于半正问题（但有时我会收敛）。

实际上，我在使用惩罚性置换方法，因为我要添加形式上的惩罚 $\alpha ||u||^2$ 弹性能量。所以能量读

W (u) := \frac{1}{2} u^{T} (K + α I) u - b^{t} u

$\begin{equation} \mathcal W(u) := \frac{1}{2} u^T (K + \alpha I) u - b^t u \end{equation}$ 哪里

α

$\alpha$ 与刚度矩阵的一些对角线输入成比例。但这实际上起到了抑制某些时候我想要的变形模式的作用。

我的问题是：

a）我可以变换原始系统，所以必须使其不具有奇异性和正定性（例如坐标变换或全等变换或其他）吗？我的想法是使用这种转换在转换后的问题上仍然使用CG

b）有什么标准方法可以处理这些奇异现象？

非常感谢你！

亲切的问候，

汤姆

finite-element iterative-method conjugate-gradient

— 汤姆
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Answers:

标准方法是添加约束 $u(x_0)=0$ 对于任意选择的节点 $x_0$ 。这样可以确保您的身体无法平移或旋转，从而消除了零特征值。即使没有惩罚项，具有此约束的结果系统也是正定的。

— 沃尔夫冈·邦格斯
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谢谢！是的，但是我的情况是，我有几个浮动子结构，我无法确定要修复哪些节点（3D中的3个非共线节点）。这就是为什么我想知道是否没有更高级别的解决方案，因为在我的情况下，空空间是众所周知的。

— 汤姆（Tom）

如果您有多个结构，则需要为每个结构固定一个节点。哪一个都不重要，只需为每个结构选择一个即可。

— Wolfgang Bangerth，2012年

@WolfgangBangerth这是3D弹性，因此您需要固定三个非共线的点以控制尺寸为6的零空间。固定这三个位移是9级扰动，要确保3级修改超出范围并不容易。空空间不会更改解决方案。对于要固定的点和值的任何选择，右手都有3维系列，其中固定的问题只为一个成员提供正确的答案。

— 杰德·布朗

不，您不能为3个约束固定3个点，因为您还要固定它们的相对距离。如果边界条件确实没有提供任何其他约束（例如，如果它们不是圆上的法向位移），则需要在其他两个点上固定1个点+各种旋转角度，总共需要6个约束。

— Wolfgang Bangerth 2012年

如果知道零位空间，则可以使右侧兼容并使用Krylov方法防止预处理器造成污染，请参阅为什么固定点以消除零位空间不好？有待进一步讨论。在PETSc中，这是使用MatNullSpace对象完成的。请注意，您可以提供自己的函数来投影空空间，当您有许多浮动结构时，这将有助于降低投影成本。

如果您不知道空空间并且无法避免右侧不兼容，那么可以使用专门的Krylov方法（如MINRES-QLP）找到最小范数解。如果您的铰链和单点连接仅耦合某些模式，则此方法可能很有用。请注意，您仍必须注意造成污染的预处理器（例如，由于LU分解发现零轴，也许是在粗网格上）。

— 杰德·布朗
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谢谢杰德！我考虑过通过投影迭代方法直接删除空空间。但是我想知道它是否不太昂贵（我可以创建一个可以投影出空空间的运算符，因为它的弹性确实很小）。我也认为剩余也应该被投影？

— 汤姆（Tom）

使右侧兼容并在每个预处理器应用程序之后投射出空空间（因为许多预处理器会污染空空间）。这产生了一个Krylov运算符

K = (I - N) P^{- 1} A

$K = (I -N)P^{-1}A$ 这样

{b, K b, K^{2} b, \dots}

$\{ b, K b, K^2 b, \dotsc \}$ 与零空间正交。由于您的问题是对称的，因此您不需要为左和右空空间使用其他例程。如果您致电，这就是PETSc所做的MatSetNullSpace()。

— 杰德·布朗