Matlab / Octave中计算大型矩阵条件数的最快算法

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从条件数的定义来看，似乎需要矩阵求逆来计算它，我想知道对于通用方矩阵（或者对称正定数是否更好）是否可以利用某些矩阵分解来计算条件数。更快的方法。

linear-algebra matrix condition-number

— 莱内洛
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尽管没有条件定理，但计算条件数（甚至将其近似为2的因子）似乎具有与计算因数分解相同的复杂度。

从对称正定矩阵的稀疏Cholesky因子或从普通平方矩阵的稀疏分解（具有隐式），可以通过计算的稀疏逆子集）得出Frobenius范数中的条件数。，这比计算完整逆数要快得多。（与此相关的是我的论文：超定线性系统的混合范数和界，Linear Algebra Appl。216（1995），257-266。http ://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/74 .pdf） $R$ $QR$ $Q$ $(R^TR)^{-1}$

编辑：如果则对于任何单位不变的范数，对于稀疏QR因式分解的计算，请参见例如http://dl.acm.org/citation.cfm?id=174408。对于稀疏逆的计算，请参见例如我的论文：稀疏线性模型中协方差的受限最大似然估计，Genetics Selection Evolution 30（1998），1-24。https://www.mat.univie.ac.at/~neum/ms/reml.pdf 成本大约是分解成本的3倍。 $A=QR$

c o n d (A) = c o n d (R) = \sqrt{c o n d (R^{T} R)} .

$cond(A)=cond(R)=\sqrt{cond(R^TR)}.$

— 阿诺德·纽迈耶
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因此，您提出以下建议：给定一个矩阵计算其QR形式为，其中是上三角矩阵，并且是一个正交矩阵，然后条件编号由这里的重点是如何找到一种计算QR分解的快速方法。我对吗？

A

$\mathbf{A}$

A = Q R

$\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{R}$

R

$\mathbf{R}$

Q

$\mathbf{Q}$

cond (A) = | | A | | | | A^{- 1} | | (R^{T} R)^{- 1}

$\textrm{cond}(\mathbf{A})=||A|| ||A^{-1}|| (\mathbf{R}^T\mathbf{R})^{-1}$

— linello 2012年

@linello：不完全；看到我的编辑。

— 阿诺德·诺伊迈耶

谢谢！我要检查一下，此步骤的费用是多少？

— linello 2012年

@linello：对于完整矩阵， ; 对于稀疏矩阵，它很大程度上取决于稀疏结构。

O (n^{3})

$O(n^3)$

— 阿诺德·诺伊迈耶

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使用对称矩阵的特征值/特征向量分解或通用矩阵的SVD来计算条件数当然很容易，但是这些并不是特别快的方法。

有一些迭代算法可以计算出对大多数情况有用的条件数的估计值，而无需进行计算所有工作。参见例如MATLAB中的函数。 $A^{-1}$ condest

— 布莱恩·波彻斯
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但是有时估计值太小。尽管没有条件定理，但计算条件数（甚至将其近似为2的因子）似乎具有与计算因数分解相同的复杂度。

— 阿诺德·纽迈耶

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对于稀疏的Hermitian矩阵，可以使用Lanczos算法计算其特征值。如果不是Hermitian，则可以通过计算的特征值来计算其奇异值。 $H$ $H$ $H^TH$

由于可以很快地找到最大和最小的特征值/奇异值（很早在对角线化完成之前），因此Lanczos方法对于计算条件数特别有用。

— 朝皇
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我一直想知道在哪里可以找到用于lanczos迭代的可读matlab代码，该代码阐明了如何获取最小或最大特征值。你能建议我一个吗？

— linello 2012年

我没有Lanczos算法的MATLAB代码。

— chaohuang 2012年