任意精度可伸缩绳索仿真

我正在尝试模拟绳索对象。我了解的公式是由弹簧连接的一系列粒子。这些弹簧具有非常大的k值，因此线会变形，但拉伸很少。我得出的结论是，在闭合形式中不可能解决作为时间函数的问题，因为绳索是钟摆（不是闭合形式）的推广。

然后解决近似解决方案。我需要一个可扩展的算法。我看到的示例使用显式或隐式欧拉积分来移动粒子。这不会扩展。

要看到这一点，请考虑具有n个节点的绳索。向一端施加很大的力。由于绳索的拉伸不应太大，因此另一端的加速度必须是立即的。

但是，通过欧拉融合，将任何力量施加到另一端都需要n步。我注意到一个指数下降：如果第一个节点加速一定量，则相邻节点的加速较小（如果它们以相同的速度加速，则该算法不稳定）。因此，相邻节点是节点加速更慢！

因此，对于n个节点而言，加速度几乎可以忽略不计。这导致绳索明显伸展。如果只想使模拟的分辨率加倍，则突然需要采取小几十或几百倍的时间步才能获得类似的行为。

我正在寻找一种解决此问题的简单方法-即，高分辨率模拟仅需多项式时间额外的计算即可收敛到该解决方案。可以使用矩阵和线性代数技术的完整库。我对经典力学的知识非常好，而且我知道一些数值分析。

首先，正如杰德·布朗（Jed Brown）所提到的，您应该使用隐式时间步调方案，因为您的问题似乎很棘手，或者至少是一种更稳定，但同样简单的方案，例如Leapfrog集成或Verlet集成。

至于身体问题，您对伸展运动有多感兴趣？可以使用完整的约束来代替使用刚性弹簧连接粒子，例如，确保成对的粒子之间的距离保持恒定。需要在每个时间步求解约束，并且存在用于精确设置的有效算法，即一长串约束链。例如，参见本文。

出于好奇，您是否还在沿着绳索的长度使用角势来建模其柔韧性？

使用当前的公式，您的系统会很僵硬。弦中的动态拉伸和振动（大概）没有意思，但是它们控制了明确的时间步长。这表明使用隐式时间积分方法。您可以使用阻尼来防止振荡，该振荡会破坏隐式方法的自适应误差控制。

如果尽管想要跨越细尺度振荡，但仍要进行建模仍然很重要（例如，对于疲劳建模），那么您可能要检查新的多尺度方法，例如异质多尺度方法（Engquist，Tsai等）或半频谱及时法。此类方法的使用是研究级的主题，您必须充分了解问题所在以及方法的功能，才能确定它是否合适。如果您想节省能量，例如某些振动模式不应该消散，则应考虑诸如Verlet之类的辛积分器。

您也可以根据需要解决零拉伸限制。使用惯性项，可以用角度来重新构建模型，从而形成非刚性ODE系统。正如faleichik指出的那样，这是ROPEHairer，Nørsett和Wanner的书中考虑的测试问题。如果您放弃了绳索本身的惯性，但允许松弛（轻，低拉伸的绳索，具有离散的载荷；不是常见的模型），那么问题就变成了微分变分不等式（DVI），通常您无法获得优于一阶精度的时间。

如果您对快速的近似解决方案感兴趣，那么您可能会对数字效果中使用的方法（例如离散微分几何）感兴趣。我知道哥伦比亚大学Grinspun小组在2008年发表的论文Discrete Elastic Rods中的准静态公式，但该领域可能有更多的最新文献。

悬绳的运动是Hairer和Wanner的最爱测试问题，它出现在“求解常微分方程”的第二卷（刚性）和第一卷的第二版（1993年）中。我建议使用最后一个选项，第247页。方程式很难推导，数值解法也不是很简单。尽管最后使用了常规的显式时间步进器，例如DOPRI，RK45或ODEX，它们的表现也很好，所以问题并不是很棘手。