天文学模拟中正确的整合方式是什么？

我正在创建一个简单的天文模拟器，该模拟器应使用牛顿物理学来模拟系统（或任何物体）中行星的运动。所有的物体都是在欧几里得平面上的圆，具有诸如位置，速度，质量，半径和合力之类的属性。

我想以较小的时间步长（通常是几毫秒）来更新Universe，但是我不确定如何正确计算位置的变化。

力很简单：fr = sum(G * body.m * bodyi.m / dist(body, bodyi)^2)。

但是我怎么从那里继续呢？

我可以这样做：

a = Fr/body.m
v += a*dt
position += v*dt

但这当然是错误的。也许我在位置计算中添加了0.5作为因素？

time-integration

— 杰科拉
source

太有趣了，不予评论：模拟“植物”的运动确实是一个常见的天文问题；-)

— Wolfgang Bangerth 2012年

您基本上可以找到答案-不需要0.5的因数。

本质上，您具有一维ODE的二维系统：其中所有内容都是时间的函数（大概除外），点表示时间导数。如果对它们进行简单的前欧拉式一阶差分，则会发现或这里我用索引时间步长。

\begin{aligned} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = \frac{F}{m}, \end{aligned}

$\begin{align} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = \frac{F}{m}, \end{align}$

m

$m$

\begin{aligned} \frac{x_{n + 1} - x_{n}}{Δ t} & = v_{n} \\ \frac{v_{n + 1} - v_{n}}{Δ t} & = \frac{F_{n}}{m}, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{x_{n+1}-x_n}{\Delta t} & = v_n \\ \frac{v_{n+1}-v_n}{\Delta t} & = \frac{F_n}{m}, \end{align}$

\begin{aligned} X_{ñ + 1个} & = X_{ñ} + Δ Ť \cdot v_{ñ} \\ v_{ñ + 1个} & = v_{ñ} + Δ Ť \frac{F_{ñ}}{米} 。 \end{aligned}

$\begin{align} x_{n+1} & = x_n + \Delta t \cdot v_n \\ v_{n+1} & = v_n + \Delta t \frac{F_n}{m}. \end{align}$

n

$n$

但是，前向欧拉天生就不稳定。幸运的是，附近有一种辛的方法。（该链接的文章更像是存根，但其中可能包含一些有用的链接。）关键是要使用速度将位置从推进到。也就是说，假设您给每个粒子和。那么您可以使用以及时整合。这称为跳越法 $t_n$ $t_{n+1}$ $t_{n+1/2}$ $x_0$ $v_{1/2}$

\begin{aligned} X_{ñ + 1个} & = X_{ñ} + Δ Ť \cdot v_{ñ + 1个 / 2} \\ v_{ñ + 1个 / 2} & = v_{ñ - 1个 / 2} + Δ Ť \frac{F_{ñ}}{米} \end{aligned}

$\begin{align} x_{n+1} & = x_n + \Delta t \cdot v_{n+1/2} \\ v_{n+1/2} & = v_{n-1/2} + \Delta t \frac{F_n}{m} \end{align}$ 。这样，您的系统就可以节省某种能量，并且由于舍入误差的指数增长，轨道不太可能飞向无穷大或诸如此类的东西。

唯一要注意的是如何获取，因为大概是从开始的。在这里，您应该只使用尽可能精确的方案，而四阶Runge-Kutta是一个受欢迎的选择。这可能是长期不稳定的，但是您会在半个时间步中引入太多错误，并且该错误将在以后通过跳越方案保持较小。 $v_{1/2}$ $v_0$

最后，这个答案适用于任何一般的牛顿重力模拟。如您在问题中提到的那样，如果您真的想要完美的圆，那么您将无法获得理想的圆，除非在理想的系统中，行星之间不会相互作用，并且初始条件选择正确。如果是这种情况，那么您根本就不需要积分，因为这样的物体的角速度（每单位时间的弧度）就是其中是中心物体的质量，是轨道半径。这可以用来测试模拟的准确性。

ω = \sqrt{\frac{G 中号}{{[R}^{3}}} ，

$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}},$

M

$M$

r

$r$

嘿，您能解释一下为什么我不需要这个0.5因素吗？它似乎和n-1/2dt几秒钟前的速度一样，这就是您的建议。

— jcora 2012年

仅当的速度为0时，这才是相同的。您想要的是和（您不知道的后者）的均值的一阶估计。和的平均值。

(n - 1)

$(n-1)$

v_{n}

$v_n$

v_{n + 1}

$v_{n+1}$

v_{n}

$v_n$

0

$0$