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对于双曲PDE的数值解，使用Riemann求解器是保守冲击捕获方法的重要组成部分，用于精确模拟可能存在冲击的波浪问题（守恒变量中的不连续跳跃）。为了能够获得针对此类问题的准确解决方案，我们需要使用适当的上卷技术-黎曼求解器对此负责。黎曼求解器为单元（有限体积中的fx。）或单元（不连续Galerkin有限元方法中的fx。）之间的界面问题寻求精确的解决方案。该接口问题的解决方案基于接口任一侧的解决方案，并试图以此为基础来精确重构整个接口上的（数值）通量（就守恒变量而言）。
有两种解决此类（局部于界面的）Riemann问题的标准方法，即精确和近似Riemann解算器。对于许多PDE，没有精确的封闭形式解决方案，在这种情况下，我们必须求助于近似Riemann求解器。在实践中，精确地解决Riemann问题也可能（太）昂贵，在这种情况下，诉诸近似Riemann求解器可能更实际。出于同样的原因，Lax-Freidrichs型焊剂被广泛用作一种简单的方法。
本质上，在黎曼求解器之间的选择必须与人们试图获取代表解决方案的波速及其产生的效率的精度有关。
这取决于问题。黎曼问题基于来自单元接口任一侧的数据。要基于此数据在界面处重建通量，我们必须了解有关双曲线PDE的全波结构的信息。这使得Riemann问题依赖于问题，因此也选择了Riemann解算器。简而言之，精确的求解器寻求考虑全波结构，Roe求解器基于局部波结构的局部逼近（通过线性化和特殊平均），HLL求解器基于估算局部波的两个主导波速波浪结构，然后通过满足Rankine-Hugoniot条件施加冲击波或接触不连续点来保持。
因此，在特定求解器，精确求解器或近似Roe / HLL / etc求解器之间进行选择取决于在精度（模仿模型方程的基本物理原理）和效率需求之间取得平衡。最后，正如我所看到的那样，在实际应用中，通常是效率要求决定了近似Riemann求解器（Lax-Friedrichs类型的求解器）的使用。
斯普林格在EF Toro的教科书“流体动力学的黎曼解算器和数值方法”中对此主题做了很好的阐述。