什么时候应该在双曲PDE的集成中使用隐式方法？

用于求解PDE（或ODE）的数值方法分为两大类：显式方法和隐式方法。隐式方法允许较大的稳定时间步长，但每个步骤需要更多的工作。对于双曲线PDE，普遍的看法是，隐式方法通常不会奏效，因为使用比CFL条件允许的时间步长大的时间步长会导致非常不准确的结果。但是，在某些情况下会使用隐式方法。对于给定的应用程序，应该如何选择使用显式方法还是隐式方法？

中心问题是，哪些物理过程（波动或源条件）具有您要解决的时标，并且您希望逐步解决。如果您对系统中最快的时间标尺不感兴趣，则这些方程式称为“刚度”。双曲守恒定律通常写为一阶系统

$$u_t + \nabla\cdot F(u) = G(u,\nabla u,...)$$

其中包含守恒变量，为通量，称为“源项”。请注意，使用此术语，通量不包含导数，因此扩散项和色散项必须在。当源项很僵硬时（如许多化学反应问题）并且存在扩散或分散时，使用隐式或半隐式积分是很常见的。化学反应通常可以在每个元素中局部隐式解决，因为它不与相邻细胞偶联。$u$$F$$G$$F$$G$

为了计算波速，我们检查了通量雅可比矩阵的特征值。如果我们确定某些波的相位与物理无关，那么我们可能要跨过它们。$A = [\partial F/\partial u]$

例如，如果您正在模拟海洋的长期演变，则可能对地表重力波（例如海啸）不感兴趣。不幸的是，改变波速（要么减慢其速度以使用显式方法，要么将其加速至可以使用投影的“刚性盖”模型）会通过改变涡流的传播方式来改变物理性质。海洋中的涡旋是重力波几乎与对流平衡的效果，但并不完全。

另一个示例是可压缩的Euler，例如通过数据中心的气流。声波的速度比对流快得多，只有对流对传热很重要。如果您对声学不感兴趣，则可能需要使用隐式方法。

与可以与显式方法一起使用的步长相比，隐式方法的相对效率取决于在每个步骤/阶段求解代数系统的成本。有效地解决这样的代数系统是研究的活跃课题。（提出另一个问题，我将在此处回答并提供参考。）

在以下情况下，您可能还想使用隐式方法：

• 您的方程式具有有意义的稳态，您想直接探索，也许可以用来描述稳定性
• 您正在解决涉及历史悠久的逆/数据同化问题
• 您想使用具有某些稳定性的超高阶时间积分方法来规避阶数障碍
• 您正在使用时空自适应方法
• 您正在使用已经需要求解代数系统的空间离散化（例如，具有一致质量矩阵的连续有限元方法）