数值积分，可能除以“零”

我正在尝试整合

\int_{0}^{1} t^{2 n + 2} \exp (\frac{α r_{0}}{t}) d t

$\int^1_0 t^{2n+2}\exp\left({\frac{\alpha r_0}{t}}\right)dt$

这是一个简单的转换

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- α r_{0} x) d x

$\int^{\infty}_1 x^{2n}\exp(-\alpha r_0 x)dx$

使用 $t = \frac1{x}$ 因为很难在数值上近似不正确的积分。但是，这确实导致了评估新积分接近零的问题。看到间隔只有长度1（这样可比 $dt$ 可以做得很小），但是当积分接近零时我应该考虑什么呢？

在某种程度上，我认为 $\int^1_\epsilon t^{2n+2}\exp({\frac{\alpha r_0} {t}})dt$ 是个好主意 $\epsilon$ 是一些小数目。但是，我应该选择哪个号码？应该是机器epsilon吗？用机器epsilon划分的数字是否正确？此外，如果我的机器ε（或接近它）的除法给出了一个非常大的数字，则取 $\exp(\frac{1}{\epsilon})$ 会变得更大。

我应该如何处理呢？有没有一种方法可以对此函数定义明确的数值积分？如果没有，整合功能的最佳方法是什么？

quadrature accuracy

— drjrm3
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您是否考虑过使用Monte Carlo？

— Faheem Mitha

我觉得这不能解决问题。蒙特卡洛积分通常保留给高维积分。我会遇到与蒙特卡洛完全相同的问题，只是对函数的评估位置几乎没有控制。

— drjrm3 2011年

你可能是对的。

— Faheem Mitha

我认为最好有一个答案（也许是一个单独的，更笼统的问题），解释一个函数在一个极限处发散时如何进行数值积分的情况，这是在一般情况下无法进行积分分析的情况。再说一次，也可以在《数字食谱》中找到……

— David Z

@Faheem：“蒙特卡洛是一种非常糟糕的方法；只有在所有其他方法都较差的情况下才应使用它。” -艾伦·索卡（Alan Sokal

— -JM

Answers:

这可以通过零件集成来完成：

\int_{1}^{\infty} x e^{- a x} = \frac{- 1}{a} x e^{- a x} ∣_{1}^{\infty} - \frac{- 1}{a} \int_{1}^{\infty} e^{- a x} = \frac{e^{- a}}{a} + \frac{e^{- a}}{a^{2}} = \frac{a + 1}{a^{2}} e^{- a}

$\int^\infty_1 x e^{-ax} = \frac{-1}{a} x e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-1}{a} \int^\infty_1 e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{e^{-a}}{a^2} = \frac{a+1}{a^2} e^{-a}$ 并继续归纳

\int_{1}^{\infty} x^{k} e^{- a x} = \frac{- 1}{a} x^{k} e^{- a x} ∣_{1}^{\infty} - \frac{- k}{a} \int_{1}^{\infty} x^{k - 1} e^{- a x} = \frac{e^{- a}}{a} + \frac{k}{a} \int_{1}^{\infty} x^{k - 1} e^{- a x}

$\int^\infty_1 x^k e^{-ax} = \frac{-1}{a} x^k e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax}$ 以便

I (k) = \frac{e^{- a}}{a} + \frac{k}{a} I (k - 1)

$I(k) = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} I(k-1)$ 和

I (0) = \frac{e^{- a}}{a}

$I(0) = \frac{e^{-a}}{a}$ 。

— 马特·奈普利
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绝对不知道我怎么忽略了这一点。谢谢。

— drjrm3 2011年

零件的巧妙替换和集成始终应该是使用不规则积分的第一件事。

— JM

每当您拥有这样的积分时，最好问一个计算机代数系统。枫树评价“

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- α x) d x assuming n :: nonnegint, α > 0

$\int_1^\infty x^{2n} \exp(-\alpha x) \mathrm{d}x \text{ assuming }n :: \text{nonnegint}, \alpha > 0$ ”立即进入

Γ (2 n + 1, α) α^{- 2 n - 1}

$\Gamma(2n+1, \alpha) \alpha^{-2n-1}$ ; 我确定Mathematica也会这样做。（当然，通过数字验证它还是个好主意，这些人通常也可以这样做。）

— Erik P.

实际上，Mathematica选择将答案表示为ExpIntegralE [-2 n，ar]。如果在其上运行FunctionExpand，则其给出的答案与Maple相同。

— 塞克（Searke）2012年

看看QUADPACK。它具有在（半）无限域上集成的例程。

— GertVdE
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