如果我们采用线法对双曲型PDE进行离散化（时间和空间离散化），则在空间离散化之后，通过我们最喜欢的数值方法（fx。有限体积法）获得的结果在实际中是否重要，我们采用哪种ODE求解器进行时间离散化（TVD / SSP /等）？
添加了一些其他信息：精度问题可能是非平滑问题的问题。众所周知，尽管初始解很平滑，但非线性双曲型PDE仍会在有限的时间内产生冲击，在这种情况下，对于高阶方法，精度可能降为一阶。
通常基于线性化进行ODE稳定性分析，以获得形式为q_t = J q（带有qa扰动向量）的ODE线性半离散系统，其中J的特征值应在选定时间的绝对稳定性范围内进行标度，步进方法。替代策略是使用伪光谱或能量方法进行稳定性分析。
我知道，TVD / SSP方法的动机是避免因时间步长方法引起的假性振荡，否则可能会导致不自然的行为。问题是，经验是否表明这些类型的时间步伐方法比例如经典的工作马（如明确的Runge-Kutta方法）或其他方法更优越。显然，它们对于解决方案可能会显示冲击的问题类别应具有更好的性能。因此，有人可能会争辩说，我们应该只将这些类型的方法用于时间积分。
Answers:
我不知道您是否仍然对答案感兴趣，但是无论如何我还是要去：
您已经说过，您知道非线性方程中的冲击形成。这就是为什么您必须谨慎选择时间积分器的原因。当时间离散化不是必需的时，应用TVD空间离散化是没有用的-您将看到与高阶数值通量相同的振荡。
归结为前卫欧拉的作品。您已经在问题中提到了SSP（强稳定性保护）。这是一类特殊的Runge-Kutta方法。基本上，您必须选择方法的系数，以便可以将其写为Euler步骤的凸组合。这样，将保留TVD等属性。
戈特利布（Gottlieb），凯奇森（Ketcheson）和舒（Shu）撰写了一本关于SSP方法的非常不错的书，名为“强稳定性保持Runge-Kutta和多步时间离散化” 亚马逊链接
是的，这很重要。通常要注意的两件事：
准确性。一些ODE方案比其他ODE方案更准确，更高阶，等等。经验法则是选择一种精度与空间离散相似的方法。
稳定性。对于双曲线问题，您希望运算符具有纯虚数特征值，因此您需要一个ODE求解器，该求解器在其稳定域中包括虚部访问的某些部分。例如，参见Fornberg的“附录G，伪光谱方法实用指南”。
对于双曲方程式，有些人希望确保其解始终为正，因此有多种过滤器和技巧可以确保这一点。但是我对此一无所知。
我距离专家还很远，但是我想尝试回答一下，因为问题已经存在了一段时间。