在解决PDE时，为什么本地保护很重要？

工程师通常坚持使用局部保守方法（例如有限体积，保守有限差分或不连续的Galerkin方法）来求解PDE。

使用非局部保守的方法会出什么问题？

好的，因此局部守恒对于双曲型PDE很重要，椭圆形PDE呢？

在非线性双曲型PDE的解中，即使初始条件是平滑的，也会出现不连续性（“冲击”）。在存在不连续性的情况下，解决方案的概念只能以较弱的定义。冲击的数值速度取决于所施加的正确的兰金-休格尼特条件，而反过来又取决于数值上局部满足积分守恒定律的情况。在LAX-Wendroff定理保证收敛数值方法将收敛到双曲守恒律弱解只有当方法是保守的。

您不仅需要使用保守的方法，而且实际上还需要使用保留正确数量的方法。 在LeVeque的“双曲线问题的有限体积方法”第11.12节和12.9节中有一个很好的示例对此进行了说明。如果您离散化Burgers方程

$$u_t + 1/2 (u^2)_x = 0$$

通过一致的离散化

$$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{\Delta x} U^n_i (U^n_i-U^n_{i-1})$$

您会发现，无论您如何优化网格，震动都将以错误的速度移动。也就是说，数值解不会收敛到真实解。如果改为使用保守的离散化

$$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{2\Delta x} ( (U^n_i)^2-(U^n_{i-1})^2)$$

基于通量差，冲击将以正确的速度移动（对于该方程，冲击的左侧和右侧的状态平均值）。我在编写的IPython笔记本中说明了此示例。

对于线性双曲型PDE以及通常具有平滑解的其他类型的PDE，局部守恒不是收敛的必要成分。但是，由于其他原因（例如，如果总质量是感兴趣的数量），这可能很重要。

我认为，您的问题的一个答案是，某些社区只是一直使用保守的计划，因此它已成为“完成方式”的一部分。有人可能会争辩说，这是否是最好的方法，但这与要求英国人向右行驶一样富有成果，因为仅在标准方面行驶会更方便。

也就是说，我确实看到了有用的情况。例如，考虑两相多孔介质流。通常以以下方式提出此问题： 在这里，部分问题是解决组成前两个方程的混合拉普拉斯问题，这是传统上使用Raviart-Thomas元素完成的任务。之所以选择它们，是因为“确保质量守恒的重要性”，从某种意义上说，我可以理解：如果最终得到的速度场不是质量保守的，那么您将得到一个饱和方程，该饱和方程并不守恒输送流体的质量。当然可以说那不会

$$u + K \nabla p = 0 \\ \nabla \cdot u = f \\ \partial_t S + u \cdot \nabla S = q.$$ $h\rightarrow 0$，但是即使对于有限的网格大小，也要确保此属性成立，这确实有道理。

很多时候，要求解的方程式代表物理守恒定律。例如，流体动力学的欧拉方程表示质量，动量和能量守恒。鉴于我们正在建模的基本事实是保守的，因此选择也保守的方法是有利的

您还会看到与电磁场相似的东西。麦克斯韦定律包括磁场的无散度条件，但该方程式并不总是用于磁场的演化。保存这种情况的一种方法（例如：约束运输）有助于匹配现实的物理学。

编辑：@hardmath指出我忘记解决问题的“可能出什么问题”的部分（谢谢！）。这个问题专门针对工程师，但是我将提供一些来自我自己领域（天体物理学）的示例，并希望它们能帮助说明足够多的想法，以便概括出工程应用中可能出现的问题。

（1）在模拟超新星时，您具有与核反应网络（及其他物理学，但我们将忽略它）相关的流体动力学。许多核反应强烈依赖于温度，温度（一阶近似）是能量的某种度量。如果您无法节省能量，您的温度将会太高（在这种情况下，您的反应进行得太快，您引入的能量会更多，从而使您不该失控）或太低（在这种情况下，您的反应会运行太慢，您将无法为超新星供电）。

（2）模拟双星时，需要重铸动量方程以保持角动量。如果您无法保持角动量，则您的恒星将无法正确地相互绕轨道运动。如果它们获得额外的角动量，则它们将分离并停止正确的交互。如果失去角动量，它们会相互碰撞。模拟恒星磁盘时，也会发生类似的问题。守恒（线性）动量是可取的，因为物理定律可以保存线性动量，但是有时您必须放弃线性动量并保存角动量，因为这对于当前的问题更为重要。

我不得不承认，尽管引用了磁场的无散度条件，但我在那里并不那么博学。未能保持无散度条件会产生磁单极子（目前我们尚无证据），但是我没有任何好的示例来说明可能在仿真中引起的问题。

今天，我遇到一个论点，即用于Navier-Stokes模拟的EMAC方案及其在流过钝体的应用，并注意到其中的第1.2节至少部分回答了OP的问题。相关部分是：

在计算流体动力学（CFD）社区中，人们普遍认为，离散化建立的物理性越强，离散解决方案就越准确和稳定，尤其是在较长的时间间隔内。N. Phillips在1959年 [42] 构建了一个正压非线性涡旋方程的示例（使用有限差分方案），其中对流项的长时间积分导致任何时间步长的数值模拟失败。在 [4]中 荒川表明，如果通过离散化方案守恒动能和熵（二维），则可以避免长时间的积分不稳定问题。……。2004年，Liu和Wang开发出了一种能够节省螺旋流和三维流能量的技术。在 [35]中，他们提出了一种用于轴对称流的能量和螺旋度保留方案。他们还表明，他们的双重保守方案消除了对大的非物理数值粘度的需求。…

…几十年来，在CFD中众所周知，有限元方案保存的物理量越多，预测就越准确，尤其是在较长的时间间隔内。因此，由物理上更精确的方案提供的解决方案在物理上也更相关。如果可以提供完全解析的网格和无限小的时间步长，则所有常用的有限元方案都可以提供相同的数值解。但是，在实践中，人们无法承受3D模拟中完全解析的网格，尤其是对于时间相关的问题。例如，在第二章中，我们需要5万至6万个时间步，其中每个时间步都需要求解具有400万未知数的稀疏线性系统。这需要2-3周的计算时间，并且需要在5个节点（每个节点具有24个内核）上实现高度并行的代码。