对于具有各向异性边界网格的不可压缩流，哪些空间离散化有效？

高雷诺数流产生非常薄的边界层。如果在“大涡流模拟”中使用了壁分辨率，则宽高比可能约为 $10^6$ 。在这种情况下，许多方法变得不稳定，因为insup常数会随着长宽比的平方根或更差而降低。insup常数很重要，因为它会影响线性系统的条件数和离散解的逼近性质。尤其是，以下关于离散误差保持的先验界限（Brezzi和Fortin 1991）

\begin{aligned} μ ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq C [\frac{μ}{β} inf_{v \in V} ‖ u - v ‖_{H^{1}} + inf_{q \in Q} ‖ p - q ‖_{L^{2}}] \\ ‖ p - p_{h} ‖_{L^{2}} \leq \frac{C}{β} [\frac{μ}{β} inf_{v \in V} ‖ u - v ‖_{H^{1}} + inf_{q \in Q} ‖ p - q ‖_{L^{2}}] \end{aligned}

$\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q\in \mathcal Q} \lVert{p-q}\rVert_{L^2} \right] \end{split}$

其中， $\mu$ 是动态粘度， $\beta$ 是inf-sup常数。由此可见，当 $\beta \to 0$ ，速度和（尤其是）压力近似值变得比有限元空间中的最佳近似值差（即，Galerkin最优性的常数随着 $\beta^{-1}$ 和增长 $\beta^{-2}$ ）。

哪种方法具有与宽高比无关的统一的ins-upsup稳定性？

哪些可与非结构化网格一起使用？

估计如何概括为高阶近似？

— 杰德·布朗
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MAC有限差分方案（Harlow和Welch 1965）是一致稳定的，但需要平滑的结构化网格，并且只有二阶精度。

对于非结构化和高阶方法，首选有限元方法。对于连续的Galerkin有限元方法，没有已知的具有最佳逼近特性且一致稳定的空间。

$Q_k-P_{k-1}^{\mathrm{disc}}$ 具有最佳逼近特性，并且局部保守，但是inf-sup常数会随着长宽比的平方根而降低。有关详细信息，请参见Bernardi＆Maday 1999。
$Q_k-Q_{k-2}^{\mathrm{disc}}$ 具有与长宽比无关的inf-sup常数，并且是局部保守的，但是inf-sup常数的缩放比例为因为形状规则网格上的多项式阶数增加了（Maday等，1992）。在具有悬挂节点或凹角的网格上，此边界在2D中非常清晰（Schoetzau等，1998），但在3D中进一步退化为 -3/2（Toselli＆Schwab 2003）。 $\mathcal{O}\left(k^{\frac{1-d}{2}}\right)$ $k^{-3/2}$
来自Rannacher＆Turek 1994 的旋转的不合格元素是一致稳定的，具有最佳逼近特性，并且局部保守，但是它不满足离散的Korn不等式，因此它需要对某些边界条件进行边界校正，因此不能用于可变粘度流。作者的后续工作致力于利用边缘通量来稳定这些方法，但是由此产生的离散化失去了许多吸引人的效率特性。 $Q_1-P_0$
Ainsworth和Coggins 2000构建了一些技术性较高的空间，它们的性能要好一些，但实用性有限。

对于不连续的Galerkin，情况要好一些：

不连续空间是一致稳定的，并且具有最佳逼近特性（Schoetzau，Schwab和Toselli 2004）。此组合不适用于连续速度空间。inf-sup常数仍取决于多项式次数，但是，缩放为。 $Q_k-Q_{k-1}$ $k^{-3/2}$

— 杰德·布朗
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