哪些方法可以确保整个PDE模拟中的物理量保持正值？

诸如压力，密度，能量，温度和浓度之类的物理量应始终为正，但是数值方法有时会在求解过程中计算出负值。这是不可行的，因为等式将计算复杂或无限的值（通常会使代码崩溃）。可以使用哪些数值方法来确保这些数量保持正值？以下哪种方法最有效？

最常见的方法是将负值重置为一些小的正数。当然，这不是数学上合理的解决方案。一种可行且简便的更好的通用方法是减小时间步长。

在双曲PDE的解中通常会出现负值，因为冲击的出现会导致振荡，如果在冲击附近存在接近真空的状态，则振荡会趋于产生负值。使用总变差减小（TVD）或其他非振荡（ENO，WENO）方法可以减少这种趋势。这些方法基于使用非线性限制器来计算解的导数。但是，由于以下几个原因，您仍可能会得到负值：

• 如果使用线法并应用高阶时间积分器。大多数TVD方案仅在半离散意义上或使用Euler方法证明是TVD。对于更高阶的时间积分，您应该使用强大的保持时间（SSP）时间离散化功能。这些方案也称为“契约”或“保持单调性”。Sigal Gottlieb，舒志旺和我本人最近出版了一本有关该主题的书。
• 如果您不对方程组使用局部特征分解，则您的解决方案将不会是TVD（TVD方案仅针对标量问题具有该属性）。因此，最好在特征变量中进行重构/插值。
• 如果您使用非线性系统，则即使使用局部特征分解，也会出现负值。例如，对于浅水方程或欧拉方程，任何线性化的Riemann求解器（例如Roe求解器）都可以显示为在足够具有挑战性的条件下生成负值。一种解决方案是使用HLL求解器（或HLL的变体）。其中有些是肯定的。
• TVD方案只是二阶的。像WENO这样的高阶非振荡方案并不严格满足TVD或最大原理。但是对那些高阶方案进行了新的修改；它是由张向雄（舒智旺的学生）在最近的几篇论文中开发的。

当然，对于特定的方程式，还有许多其他专门的方法，例如在David George的GeoClaw代码中，它使用带有额外非物理波的Riemann求解器来增强正性。

假设我们在不使用任何源项的情况下求解双曲方程，并假设我们提供了物理初始条件，请确保所使用的数值方案为“ 总变化”。减小是确保计算解的“物理性”的好方法。由于TVD方案保留了单调性，因此不会创建新的最小值或最大值，并且解决方案将仍然受到我们希望正确设置的初始值的限制。当然，问题在于TVD方案不是最明显的方案。在线性方案中，只有一阶方案是TVD（Godunov 1954）。因此，自50年代以来，已开发出各种非线性TVD方案来结合高精度和单调性来求解双曲方程。

对于我的应用，解决Navier-Stokes方程与大的压力/密度梯度，我们使用一种混合MUSCL -中央计划来捕捉大梯度/不连续性和留住优秀的准确性远离他们。范·里尔（Van Leer）于1979年提出了第一个MUSCL方案（MUSCL代表保护法以单调上游为中心的方案）。

如果您想了解更多有关此主题的信息，请查阅Harten，Van Leer，Lax，Sod和Toro的作品。

上面的答案适用于与时间有关的问题，但是您也可以在一个简单的椭圆方程中要求正。在这种情况下，您可以将其公式化为变分不等式，为变量赋予界限。

在PETSc中，有两个VI求解器。一种使用减少空间的方法，其中将主动约束中的变量从要解决的系统中删除。另一个使用半光滑的牛顿法。

$A$

$$Au = b$$ $A$$A^{-1}$

$B\in\mathbb{R}^{n \times n}$$B\geq0$$B$

$$(B\geq 0) \qquad\Leftrightarrow\qquad (u\leq v ~\Rightarrow~ Bu\leq Bv, ~~\forall u,v \in \mathbb{R}^n )$$

$A$

$$0 \leq b ~\Rightarrow~ 0=A^{-1}0 \leq A^{-1}b = u$$ $b$$b\geq 0$

通常，导致M矩阵的离散化方案称为单调方案，这就是那些保留非负性的方案。