多维度的PDE

我知道，找到PDE近似解的大多数方法都无法随维数扩展，并且Monte Carlo用于需要约100维的情况。

有什么好的方法可以有效地对〜4-10维的PDE进行数值求解？10-100？

除了蒙特卡洛，还有没有其他方法可以随维数扩展？

在多维上提供基数或正交数（在许多情况下可以替代MC）的更结构化的方法是稀疏网格，它结合了一些具有不同阶数的一维规则族，从而仅具有指数增长。尺寸而不是具有它是分辨率N d的指数。$2^d$$N^d$

这是通过所谓的Smolyak正交函数完成的，该函数将一系列一维规则为$Q^1_l$

$Q^d_n = \displaystyle\sum^{n}_{l}(Q^{1}_i - Q^{1}_{i-1})\otimes Q^{d-1}_{m-i+1}$

这等效于张量积正交空间，其中高混合阶已从空间中移除。如果以足够严格的方式完成此操作，则可以大大提高复杂性。但是，为了能够做到这一点并保持良好的近似，解决方案的规则性必须具有足够消失的混合导数。

稀疏网格已被Griebel组殴打致死，因为诸如配置空间中的Schrödinger方程之类的事物以及其他 高维事物都获得了不错的结果。在应用程序中，只要可以嵌套它们，则使用的基本函数可能非常通用。例如，平面波或层次基础是常见的。

自己编写代码也很简单。根据我的经验，要使其真正解决这些问题非常困难。存在一个很好的教程。

对于其解决方案存在于具有迅速消失的导数的特殊Sobolev空间中的问题，稀疏网格方法可能会产生更大的结果。

另请参见Acta Numerica评论论文，高维参数化和随机PDE的稀疏张量离散化。

通常，很容易理解为什么规则网格不能超出3维或4维问题：在d维中，如果您希望每个坐标方向上最少N个点，则将得到N ^ d总分。即使对于1d中相对较好的功能，您也至少需要N = 10个网格点才能解决它们，因此，点的总数将为10 ^ d-即，即使在最大的计算机上，您也不可能超过d = 9，并且可能不会超出以往。如果解决方案函数具有某些属性，则稀疏网格可以在某些情况下提供帮助，但是通常，您必须忍受维度诅咒的后果，并必须使用MCMC方法。

$d=4,...,100$$d=100,101,...\infty$。因此，即使尺寸从4增加到100，蒙特卡洛也可能会更快。