当解的雅可比阶数为奇数时的牛顿法策略

我正在尝试为变量和x 2（所有其他都是常数）求解以下方程组：$P,x_1$$x_2$

$$\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0$$

我可以看到，通过分别针对x 1和x 2求解方程1和2 并将其代入方程3 ，可以将该方程组变成单个变量的单个方程。使用matlab的命令找到解决方案。使用参数k 1 = k 2 = 1，r 1 = r 2 = 0.2和A = 2，我发现真正的解是P = x 1 = $(P)$$x_1$$x_2$fzero$k_1=k_2=1$$r_1=r_2=0.2$$A=2$。$P=x_1=x_2=0.5$

但是，当我将牛顿法应用于原始的3变量-3方程组时，无论我从多接近真实的解，迭代都不会收敛到解。）= （0.5 ，0.5 ，0.5 ）。 $x^*=(P^*,x_1^*,x_2^*)=(0.5,0.5,0.5)$

起初，我怀疑我在牛顿方法的实现中存在错误。经过几次检查，我没有发现错误。然后我尝试使用初始猜测，lo＆瞧：雅可比行列是奇异的。我知道奇异的jacobian可以减少收敛的顺序，但是我认为它不一定会阻止收敛到真正的解决方案。 $x_0=x^*$

因此，我的问题是，鉴于系统在真正的解决方案中的雅可比是单数的：

1. 要证明牛顿法不会收敛到根，还需要其他什么条件？

2. 全球化策略（例如线搜索）是否可以确保融合，尽管雅各布奇异？

（1）：这取决于在解的雅可比行列的零空间中雅可比行列的导数的行为。实际上，没有人计算这些导数，我什至不介意记住精确的条件。

（2）有效，尽管收敛只是线性的。

为了获得超线性收敛（至少在大多数情况下），可以使用张量方法。参见例如
https://cfwebprod.sandia.gov/cfdocs/CCIM/docs/SAND2004-1944.pdf
http://www.jstor.org/stable/10.2307/2156931
http://www.springerlink.com/索引/X5G827367G548327.pdf

除了行搜索外，您还可以尝试将牛顿方法修改为Levenberg-Marquardt算法。如果您使用的是Matlab，则实现非常简单。