用于漂移扩散的PDE求解器和相关模型

我正在尝试为教学目的模拟基本的半导体模型-从漂移扩散模型开始。尽管我不想使用现成的半导体仿真器-我将学习其他（常见，最近或模糊的）模型，但我确实想使用现成的PDE求解器。

但是，即使对于简单的一维情况，漂移扩散模型也由许多耦合的非线性PDE组成：

电流密度方程 Ĵ p = q p （X ）μ p È （X ）+ q d p ∇

$$J_n = q n(x) \mu_n E(x) + qD_n \nabla n$$ $$J_p = q p(x) \mu_p E(x) + qD_p \nabla p$$

连续性方程 ∂

$$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_n + U_n$$ $$\frac{\partial{p}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_p + U_p$$

泊松方程

$$\nabla \cdot (\epsilon \nabla V) = -(p - n + N_D^+ - N_A^-)$$

和一些边界条件。

我尝试了一些python FEM求解器FEniCS / Dolfin和SfePy，但是由于无法用测试函数将它们构造为弱变分形式而没有运气。

当然，可以从头开始实施数值解决方案，但是我还没有深入研究FEM /数值，所以我希望这不是我唯一的选择，因为我不想被数值问题淹没。

那么，是否有一个软件包（首选开源）可以采用这些形式并求解这些方程式？还是工具所需的变体形式不那么难？无论如何，我有什么选择？

谢谢

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编辑：尝试为FEniCS / Dolfin或SfePy制定弱变异形式

$u_V$

$$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \nabla \cdot (C_1 n \nabla V +C_2\nabla n) + U$$ $C_1, C_2$$U, n, p, V$

$f_n$

$$\int_{\Omega}f_n\frac{n - n_1}{\Delta t}d\Omega - C_1 \int_{\Omega}f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega - C_2 \int_{\Omega}f_n \nabla^2 n d\Omega - \int_{\Omega}f_n U d\Omega$$

$$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega$$

$\mathbf{\nabla V}$$V, u_n, n$$\nabla \cdot \phi \mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla \phi} + \phi \nabla \cdot \mathbf{A}$

$$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega = C_1 \int_{\Omega} f_n (\nabla V \cdot \nabla n) + C_1 \int_{\Omega} f_n n \nabla \cdot \nabla V$$

由于V是通过Poisson方程求解的，我们可以使用软件Dolfin / FEniCS中允许的最近计算出的值，并简化在第二个耦合方程中如何处理V的情况吗？这些技术可以在离散化时起作用（例如Gummel等），而在这些现成的求解器中我不这样做！

$J_n$$n$$J_n, J_p, n, p, V$$J_n$

Scharfetter-Gummel（SG）公式通常用于求解电流密度方程。这是一种特殊的配方，克服了解决电位和电流密度之间非线性关系的难题。

本书讨论了如何使用盒积分方法计算这些方程的标准文本：Selberherr，S.，半导体器件的分析和仿真。施普林格出版社1984

这种类型的模拟称为技术计算机辅助设计（TCAD）。与有限元方法（FEM）相反，有限体积方法（FVM）用于计算电流。这是因为它适合解决电流密度方程时已显示（通过此方法的实践者）有效的SG公式。

如果要使用广义PDE解决此问题，COMSOL拥有一个半导体模块，可以使用混合FEM / FVM方法解决此问题。

此外，此处还列出了商业和开源TCAD仿真器：http : //www.tcadcentral.com

据我所知，广义PDE TCAD求解器是DEVSIM，FLOOPS，PROPHET。商业工具倾向于使大多数物理方程式以诸如C ++的编译语言进行硬编码。