用于评估超几何函数的有效，准确的算法是什么？

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我很好奇，知道有什么好的数值算法可以用来评估广义超几何函数（或级数），定义为

_{p} F_{q} （ {一种}_{1个} ， \dots ， {一种}_{p}; b_{1个} ， \dots ， b_{q}; ž ） = \sum_{ķ = 0}^{\infty} \frac{（ {一种}_{1个} ）_{ķ} \dots （ {一种}_{p} ）_{ķ}}{（ b_{1个} ）_{ķ} \dots （ b_{q} ）_{ķ}} \frac{ž^{ķ}}{ķ ！}

${}_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(a_1)_k\cdots(a_p)_k}{(b_1)_k\cdots(b_q)_k}\frac{z^k}{k!}$

通常，该系列不一定会很快收敛（或根本不会收敛），因此，逐项汇总术语似乎并不理想。有一些更好的替代方法吗？具体来说，我正在寻找能够提供4或5位精度并具有合理数量的计算的东西。

我通常看到的最常见的情况是和，但是在我正在研究的特定项目中，我需要。显然，针对任何和的通用算法都是理想的，但是我将尽我所能。 $p=1,q=1$ $p=2,q=1$ $p=1,q=2$ $p$ $q$

special-functions

— 大卫·Z
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如果您的案子不在Abramowitz和Stegun的手册（people.math.sfu.ca/~cbm/aands/subj.htm）中涵盖，但事实并非如此，您基本上注定要自己解决这个问题，我就是害怕...

— Jaime 2012年

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在单个应用程序中，您很有可能只需要广义超几何函数所有可能极端的一小部分。毕竟，这是一个非常通用的功能。对的范围和参数有一个了解将可以给出更具体的建议。 $z$ $a_i, b_i$

通常，标准的方法中，假定，当然是当使用限定幂级数是小。如果，则当时最好切换到渐近展开之所以太大，可能是因为泰勒级数收敛太慢和/或由于灾难性抵消而变得太不精确。这些算法之间的最佳截止时间取决于参数和精度要求。 $p \le q + 1$ $|z|$ $p < q + 1$ $|z|$

对于的渐近级数是由http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/Hypergeometric1F2/06/02/03/给出的，它看起来很可怕，但是如果您的是固定的，则可以预先计算系数的数值。通用公式可在DLMF中找到：http：//dlmf.nist.gov/16.11（请注意，选择正确的分支切口需要格外小心。） ${}_1F_2$ $a_1, b_1, b_2$

如果泰勒级数和渐近级数都无法很好地发挥作用，则“按指数改进的展开”可能会有用。值得一提的另一种可能性是，您可以将超几何微分方程插入通用ODE求解器中。这应该工作得很好，尤其是在您只需要4-5位数字的情况下。这可以用于从小（幂级数在其中起作用）到较大的进行解析延续，或者与通过渐近级数获得的值相反（您可能需要做更多的工作才能获得所有的需要作为初始值的导数）。 $z$

如果需要在整个复平面上具有函数，则可以使用转换公式将单位圆盘的外部映射到内部。必须在单位圆附近使用某些收敛加速算法或其他方法，例如ODE的数值积分。如果，半径是收敛的，则半径为零，因此，如果要评估的函数是由这样的发散级数给出的，则可能需要应用Borel变换（以数字方式或符号方式）以将其简化为收敛级数。 $p = q + 1$ $1/z$ $p > q + 1$

对于完整的实现，还需要考虑其他问题（例如，处理非常大或非常接近负整数的参数）。对于足够差的参数，无论您做什么，都很难以双精度获得准确的值，因此可能需要任意精度的算法。

我应该注意，我已经为mpmath库编写了一个几乎完整的广义超几何函数的数值实现（对于高于的函数，它目前缺少渐近级数），这可能对研究或运行测试很有用（假设它还不够快，无法满足您的目的）。 ${}_2F_3$

— 弗雷德里克·约翰逊
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优秀！不幸的是，我无法真正更具体地了解参数值，因为该函数会在许多地方弹出各种值。在某个时候，我绝对会对在mpmath中使用和/或查看您的实现感兴趣。

— David Z

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弗雷德里克的答案是正确的。我只指出，我最终使用了有理近似（来自Mathematica）来近似表示“ a”和“ b”系数的特殊值，因为它对于所有实数“ z”都是准确的（我将实轴划分为区间并在每个上使用了不同的有理近似值，而且速度非常快。我使用了mpmath来检查Fortran中双精度实现的准确性。

— 昂德里杰·塞蒂克

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所有特殊功能的规范参考是Abramowicz和Stegun。这是一本已存在约半个世纪的书，如果找不到，请看一看“第二版”，它实际上是由美国国家标准学会（NIST）组织的网站）。我没有确切的URL，但应该不会很难找到。

— 沃尔夫冈·邦格斯
source

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现在称为“数学函数数字图书馆”；超几何函数是第15章的主题。

— Christian Clason

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_{2} F_{1}

$_2F_1$

_{1} F_{2}

$_1F_2$