具有线性约束的凸函数最大化（凹函数最小化）

问题是

其中$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{x_i^4}{(\sum_{i=1}^{N}x_i^2)^2}}$，
$\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T \in \mathbb{R}^{N\times 1}$和
$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{M\times N}$

我们可以看到$f(.)$的形式为$\sqrt{1+y^2}$，它是一个凸函数。
还可以证明f（。）在[\ sqrt {2}，2]中是有界的$[\sqrt{2}, 2]$。

这是具有线性约束的凸最小化问题。

解决这些问题的标准算法是什么？

使用问题的特定性质，是否可以使用任何标准的优化软件/软件包来解决？

您可以利用问题的结构，尽管我知道没有预打包的求解器可以为您提供帮助。

本质上，您要寻找的是最小化凸多面体（或凸多面体）上的凹函数。快速搜索收集了一些相关资源（我隐约记得四年前我上非线性编程课程时提到的其中一个）：

Falk，JE和Hoffman，KL 通过折叠多表位使凹面最小化，《运筹学》，1986年，第1期。34，第6页，919-929。

Hoffman，KL 一种在凸集上全局最小化凸函数的方法，《数学编程》，1981年，第1期。第20页 22-31。

Benson，HP 一种用于多面体上的凹面最小化的有限算法，Naval Research Logistics，1985年，第1期。第32号第1页。165-177。

Christophe Meyer网站上的大量参考资料。

如果您的Google“在多面体上最小化凹面功能”（或将“多面体”替换为“多面体”），则有更多来源。

几年前，我参加了关于优化的讲座。那时我们将Matlab与YALMIP结合使用。

YALMIP Wiki

此问题可以看作是凸函数（DC）编程问题的区别。关于DC编程有大量文献，您可以在此处搜索相关研究。最著名的方法之一是DCA方法，例如：http : //lma.univ-pau.fr/meet/mamern09/en/Lethi-MAMERN09.pdf

另一篇近期调查DC文献并且可能很方便的论文是：https : //arxiv.org/pdf/1511.01796.pdf

对于非平滑问题，您也可以使用一些更通用的方法，例如，http：//num.math.uni-goettingen.de/~ssabach/BST2013.pdf中提供的基于代理的方法。

我会提供Frank Wolfe算法和相关方法供您考虑。基本上，您可以线性化目标函数并在每次迭代时求解结果LP。但是，我确实认为您需要在上添加边界以使这种方法有效。$x$