统一与非统一网格

这可能是一个学生级别的问题，但我无法完全了解自己。为什么在数值方法中使用非均匀网格更准确？我想在一些有限差分法的情况下为形式的PDE $u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$。并假设我对点的解感兴趣$x^{\ast}$。因此，我可以看到，如果我近似二阶导数，例如在使用三点近似的均匀网格上，则误差为二阶$O(h^2)$。然后，我可以通过映射构造非均匀网格，并找到用于近似导数的三个点的系数。我可以进行泰勒展开，然后再次获得导数的界线，使其成为二阶$O(h^2)$，其中$h$是在均匀网格上的距离​​，从该距离我可以获取到非均匀网格的映射。这两个估计都包含导数，我不清楚为什么在非均匀网格上求解会更准确，因为它取决于误差估计中相应导数的大小？

非均匀网格的原理是这样的（所有方程被理解为定性的，即，通常是对的，但在所有情况下以及所有方程或所有可能的离散化下都不能证明是可证明的）：

当求解，比方说一个方程，线性有限元素，那么您通常具有的误差估计的那种 或等同但在更适合于以下的一种形式： ‖ ü - ü ħ ‖ 2 大号2（Ω ） ≤ ç ħ 4 最大 ‖

$$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$$ 但是，这是一个高估。事实上，在许多情况下可以显示出错误实际上是形式的 ‖ ü - ü ħ ‖ 2 大号2（Ω ） ≤ Ç Σ ķ ∈ Ť ħ 4 ķ ‖ ∇ 2 ü ‖ 2 大号2（ķ ）。 这里， K是三角剖分 $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$$ $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$$ $K$$\mathbb T$。这表明为了减小误差，实际上没有必要减小最大网格大小。相反，最有效的策略是平衡的cellwise误差因素^ h 4 ķ ‖ ∇ 2 ü ‖ 2 大号2（ķ ） -换句话说，你应该选择 ^ h ķ α ‖ ∇ 2 ü ‖ - 1 / 2 大号2（K ）。 换句话说，局部网格尺寸$h_\text{max}$$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$ $$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$$ 如果溶液是粗糙的（具有大的导数），则 K应该很小；如果溶液是光滑的，则 K应该很大；上面的公式为这种关系提供了定量的度量。$h_K$

通过此示例向自己证明。在均匀网格上用分段线性插值对间隔[0,1]上的sqrt（x）进行插值时，最大误差是多少？

在网格上进行插值时的最大误差是多少，其中n个点的第i个点由（i / n）^ s给出，而s是精心选择的网格渐变参数？

$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$$D(x)$$D(x)$

$u(x,0)$

Kamil，微分方程求解是全局的，插值是局部的。在分段多项式插值法中，远离奇异点的精度不会被奇异点所困扰。不幸的是，这对于求解椭圆型方程（例如两点边值问题）根本不是真的。奇异性将整体污染近似值。

这里有一些尝试。用齐次Dirichlet bcs求解[0,1]上的D（sqrt（x）Du）D是微分算子。在n点均匀网格上使用有限元或有限差分。比较第i个点为（1 / n）^ 1.5的网格。请注意，均匀网格的最差误差远非奇异，远大于渐变网格。