当我们在应用程序中使用伯恩斯坦多项式时

最好使用Bernstein多项式逼近连续函数而不是仅使用以下初步的数值分析方法：“拉格朗日多项式”，“简单有限差分算子”。

问题是关于补偿这些方法。

Bernstein多项式和Lagrange多项式都跨越相同的空间。因此，就一种可能代表的功能而言，使用一种或另一种没有区别。但是，如果您想将它们用作有限元方法或插值问题中的基函数，则您创建的线性算子的频谱属性将取决于您选择的基多项式。这可能会导致迭代求解器收敛的差异。但是，在没有线性代数误差的情况下，使用任一基准都将得到相同的答案。

将此与有限差分算符进行比较是另一回事。使用多项式将为您提供连续范数的误差近似值。我不太熟悉有限差分，但是我的理解是，您只会在选择离散的位置获得误差估计。在这两点之间发生的情况还不清楚。

我在配置方法中使用Bernstein多项式来解决ODE和PDE的边值问题。他们很有趣。

对于某些线性BVP，收敛是指数级的，但与Chebyshev并置，Legendre Galerkin和Tau相比，速度稍慢。

这是将收敛速度与某些Chebyshev频谱方法进行比较的图。示例问题是线性BVP：

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

具有均匀的Dirichlet BC，并且C是一个常数 $C=-4e/(1+e)^2$。

我也将此图上传到了figshare。

如果需要，可以查看我正在编写的代码：

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

这是我写的关于使用Bernstein多项式搭配在正方形上求解椭圆BVP的arxiv论文。

去年，他们庆祝了伯恩斯坦多项式一百周年-一个有趣的事实。

下面的论文表明，在许多情况下，用伯恩斯坦形式表示多项式会导致数值稳定的算法：

RT Farouki，VT Rajan，关于伯恩斯坦形式的多项式的数值条件，计算机辅助几何设计，第4卷，第3期，1987年11月，第191-216页，DOI：10.1016 / 0167-8396（87）90012-4

贝塞尔曲线的控制点靠近曲线，但不一定在曲线上。这与伯恩斯坦多项式逼近的情况完全相同，实际上伯恩斯坦多项式是贝塞尔曲线的基础。您可以使用高阶Bézier曲线在由噪声点给出的曲线上绘制一条平滑的线，由于计算量大，没有人会这样做。实际上，正是由于这个原因，很少使用高阶多项式插值，只有切比雪夫插值偶尔是该规则的一个例外。

但是，如果我们仅在谈论低阶多项式插值，那么通过控制点直观地指定贝塞尔曲线的方法明显优于其他方法。但是，在这方面，NURBS甚至更好，但是至少Bézier曲线是NURBS的特例，并且Bernstein多项式也是NURBS的重要组成部分。