难振荡积分的数值积分方法

我需要对以下积分进行数值评估：

其中，和。在这里，是第二种修改的贝塞尔函数。在我的特定情况下，我有，和。X∈[R+λ，κ，ν>0ķλ=0.00313κ=0.00825ν=$E(r) = r^4 (\lambda\sqrt{\kappa^2+r^2})^{-\nu-5/2} K_{-\nu-5/2}(\lambda\sqrt{\kappa^2+r^2})$$x \in \mathbb{R}_+$$\lambda, \kappa, \nu >0$$K$$\lambda = 0.00313$$\kappa = 0.00825$$\nu = 0.33$

我正在使用MATLAB，并且尝试了内置函数integral和quadgk，这给了我很多错误（请参见下文）。我自然也尝试了许多其他事情，例如按部分积分，以及将到积分求和。（ķ + 1 ）X $kx\pi$$(k+1)x\pi$

那么，对于我接下来应该尝试哪种方法，您有任何建议吗？

更新（添加的问题）
我阅读了@Pedro链接的论文，我认为这太难理解了。但是，我有几个问题：

• 会是好使用为基础元素描述的，在单变量莱方法？ψ $x^k$$\psi_k$
• 因为振荡的频率是固定的，我可以只使用Filon方法吗？

范例程式码
>> integral(@(r) sin(x*r).*sqrt(E(r)),0,Inf)
Warning: Reached the limit on the maximum number of intervals in use. Approximate
bound on error is 1.6e+07. The integral may not exist, or it may be difficult to
approximate numerically to the requested accuracy.
> In funfun\private\integralCalc>iterateScalarValued at 372
In funfun\private\integralCalc>vadapt at 133
In funfun\private\integralCalc at 84
In integral at 89

ans =

3.3197e+06

我已经编写了自己的积分器，quadcc它的奇异性比Matlab积分器要好得多，并且可以提供更可靠的误差估计。

要将其用于您的问题，我做了以下工作：

>> lambda = 0.00313; kappa = 0.00825; nu = 0.33;
>> x = 10;
>> E = @(r) r.^4.*(lambda*sqrt(kappa^2 + r.^2)).^(-nu-5/2) .* besselk(-nu-5/2,lambda*sqrt(kappa^2 + r.^2));
>> sincp = @(x) cos(x)./x - sin(x)./x.^2;
>> f = @(r) sincp(x*r) .* r .* sqrt( E(r) );

f现在，该功能就是您的被积分。请注意，我刚刚为分配了任何旧值x。

为了集成到无限域中，我应用了变量的替换：

>> g = @(x) f ( tan ( pi / 2 * x ) ) .* ( 1 + tan ( pi * x / 2 ).^2 ) * pi / 2;

gf$\infty$g

然后，我叫自己的积分器，quadcc可以NaN在两端处理s：

>> [ int , err , npoints ] = quadcc( g , 0 , 1 , 1e-6 )
int =
  -1.9552e+06
err =
   1.6933e+07
npoints =
       20761

请注意，误差估计很大，即quadcc对结果没有太大的信心。但是，从函数上看，这并不奇怪，因为它在比实际积分高三个数量级的值上振荡。同样，使用不同的间隔变换可能会产生更好的结果。

您可能还想看看更具体的方法，例如this。它涉及更多，但绝对是解决此类问题的正确方法。

正如Pedro所指出的那样，Levin型方法是解决此类问题的最佳方法。

您可以使用Mathematica吗？对于此问题，Mathematica将默认检测并使用它们：

In[1]:= e[r_] := 
 r^4 (l Sqrt[k^2 + r^2])^(-v - 5/2) BesselK[-v - 5/2, l Sqrt[k^2 + r^2]]

In[2]:= {l, k, v} = {0.00313, 0.00825, 0.33};

In[3]:= Block[{x = 10}, 
 NIntegrate[Sinc'[x r] r Sqrt[e[r]], {r, 0, \[Infinity]}, 
  PrecisionGoal -> 3]]

Out[3]= -112494.

这是x值范围内的图：

In[4]:= ListLinePlot[
 Table[NIntegrate[Sinc'[x r] r Sqrt[e[r]], {r, 0, \[Infinity]}, 
   PrecisionGoal -> 3], {x, .5, 10, 0.1}]]

您还可以手动指定要应用的特定Levin类型方法，在这种情况下，可以稍微改善性能：

In[5]:= method = {"LevinRule", "Kernel" -> {Cos[r x], Sin[r x]}, 
   "DifferentialMatrix" -> {{0, -x}, {x, 0}}, 
   "Amplitude" -> {(
     3497.878840962873` Sqrt[(
      r^4 BesselK[-2.17`, 
        0.00313` Sqrt[
         0.00006806250000000001` + r^2]])/(0.00006806250000000001` + 
        r^2)^1.415`])/
     x, -((3497.878840962873` Sqrt[(
       r^4 BesselK[-2.17`, 
         0.00313` Sqrt[
          0.00006806250000000001` + r^2]])/(0.00006806250000000001` + 
         r^2)^1.415`])/(r x^2))}, "AdditiveTerm" -> 0};

In[6]:= Block[{x = 10}, 
 NIntegrate[Sinc'[x r] r Sqrt[e[r]], {r, 0, \[Infinity]}, 
  PrecisionGoal -> 3, Method -> method]]

Out[6]= -112495.

有关Mathematica中Levin型方法的详细信息，请参见文档。

如果您无权使用Mathematica，则可以按照Pedro的建议在Matlab中编写Levin型（或其他专门的振荡方法）。

您是否为Matlab 使用chebfun库？我刚刚得知它包含了一个基本的莱型方法的实现在这里。该实现由Olver（振荡正交领域的专家之一）编写。它不涉及奇异性，自适应细分等，但是可能正是您入门所需的内容。

佩德罗（Pedro）建议的转型是一个好主意。您是否尝试过使用Matlab的“ quadgk”函数中的参数？例如，使用Pedro变换，您可以执行以下操作：
quadgk(f, 0.0+eps, 1.0-eps, 'AbsTol', eps, 'MaxIntervalCount', 100000)
使用该解决方案，我得到了：
-2184689.50220729
并且仅需0.8秒（使用上述值：x = 10）
Walter Gander和Walter Gautschi撰写了一篇有关Matlab自适应正交的论文您也可以使用的代码（在此处链接）