我可以相信Matlab提供的这个数值三重积分吗？

计算科学的人：

我最初将此问题发布在Math Stack Exchange上，有人评论说我的答案可能会“好得多”：

我是数值方法和Matlab的新手。我正在尝试评估以下两个三重积分之和（显然可以将其写得更简单，但是您仍然不能象征性地对其进行评估（？））。我在拿L时遇到麻烦在这里工作，所以我很不情愿地将它分解成碎片：我想找到$\LaTeX$

$$\frac{2}{((1/0.3) - 1)^2}\left(\int_1^{1/0.3}\int_1^{r_1}\int_0^{r_1-r_0}F_1(r_0,r_1,t)\exp(-\frac{(0.3)^2 t^2}{4})\,dt\,dr_0\,dr_1 \right),$$

和

$$\frac{2}{((1/0.3) - 1)^2}\left(\int_1^{1/0.3}\int_1^{r_1}\int_{r_1-r_0}^{r_1+r_0} F_2(r_0,r_1,t)\exp(-\frac{(0.3)^2 t^2}{4})\,dt\,dr_0\,dr_1 \right),$$

哪里

$$F_1(r_0,r_1,t)=\frac{t^2 r_0^3*(0.3)^3}{2r_1^3\sqrt{\pi}}$$

和

$$F_2(r_0,r_1,t)=\frac{(0.3)^3\pi^{3/2}(r_0+r_1-t)^4 (t^2+2t(r_0+r_1)-3(r_1-r_0)^2)^2}{288(\frac{4}{3}\pi r_0^3)(\frac{4}{3}\pi r_1^3)}.$$

编辑（2013年3月2日）：有人回应说他们让Mathematica象征性地进行积分。我只是尝试这样做（使用简化的积分形式），而Mathematica只能做第一个的外部两个，而停在第二个。我将不胜感激。这是我所做的：

我试图评估

通过

$$\int_1^2 \int_1^{r_2} \int_0^{r_2-r_1} \frac{r_1^3 t^2 \exp(-t^2)}{r_2^3}\,dt\,dr_1\,dr_2$$

积分[r1 ^ 3 / r2 ^ 3 * t ^ 2 * Exp（-t ^ 2），{t，0，r2-r1}，{r1，1，r2}，{r2，1，2}]

和Mathematica回报（我在在这里，因为结果很长。我将其分为两个方程式。如果有人知道显示此内容的好方法，请告诉我）：$\LaTeX$

$$\int_1^2 \frac{1}{64r2^2} e^{-1-r2^2}(2e^{2r2}(25+r2(19+2r2(1+r2)))-$$

$$e^{1+r2^2}(32r2(2+r2^2)) +\sqrt{\pi}(11+4r2^2(9+r2^2))\operatorname{Erf}[1-r2])\,dr2.$$

然后我尝试评估

$$\int_1^2\int_1^{r_2}\int_{r_2-r_1}^{r_2+r_1} \ldots \qquad \qquad \qquad$$

$$\ldots\frac{\exp(-t^2)(r_1+r_2-t)^4(t^2+2t(r_1+r_2)-3(r_2-r_1)^2)^2}{r_1^3 r_2^3}\,dt\,dr_\,dr_2$$

使用

积分[（r1 + r2-t）^ 4 *（t ^ 2 + 2 * t *（r1 + r2）-3 *（r2-r1）^ 2）^ 2 * Exp [-t ^ 2] / r1 ^ 3 / r2 ^ 3，{r2，1，2}，{r1，1，r2}，{t，r2-r1，r2 + r1}]

刚才，Mathematica大约半小时后仍未返回答案（但是我现在遇到计算机网络问题，可能是原因）。

[3月2日编辑结束]

我使用了Matlab的“ triplequad”命令，没有其他选择。我通过重功能处理了积分的可变限制，因为我不知道其他方法。Matlab给我。 $0.007164820144202$

我知道Matlab是好的软件，但是我听说很难精确地计算数值三重积分，并且数学家应该对此表示怀疑，因此我想采用某种方法来验证此答案的准确性。积分给出了某个实验的期望值（如果有人愿意，我可以编辑此问题以描述实验）：我在Matlab中使用适当随机生成的数百万次实施该实验，并对结果取平均值。我重复了此过程四次。结果如下（如果我不正确地使用了“试用”一词，我深表歉意）：

试用1：$0.007133292603256$

试用2：$0.007120455071989$

试用3：$0.007062595022049$

试用4：$0.007154940168452$

试用5：$0.007215000289130$

尽管每个试验使用了一百万个样本，但是模拟值仅在前一个有效数字中一致。它们彼此之间距离不够近，无法确定数值三重积分是否准确。

因此，谁能告诉我在这里我是否可以信任“ triplequad”的结果，并且在什么情况下人们通常可以信任它？

我在Math Stack Exchange上获得的一个建议是尝试使用其他软件，例如Mathematica，Octave，Maple和SciPy。这是个好建议吗？人们实际上在Mathematica和Maple中从事数值工作吗？Octave是Matlab克隆的一种，因此我可以假定它使用相同的集成算法吗？我什至从未听说过SciPy，并且希望对此有任何意见。

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$0.007163085468$

另外，我也很感谢有关在输入长的多行表达式的建议$\LaTeX$

首先，决定问题解决方案质量的不是软件（或者至少不应该是软件），而是所应用算法的质量和适当性。您应该检查Matlab中的三元组正在使用哪种算法（我想它使用嵌套的自适应高斯正交）。并且您应该检查要求的公差（要求的绝对公差和相对公差）。可能是，默认情况下，它仅要求$10^{-8}$ 相对精度。

来自Maple的答案可能是由Computer Algebra完成的，也许它可以找到一个封闭的解决方案，然后使用双精度浮点进行评估。这样做的好处是，您不必通过有限的求和来逼近积分（因此会引入逼近误差），但是计算机代数系统会找到该积分的表达式，然后可以对其进行求值。当然，在评估此表达式时（四舍五入）必须小心。

如果要使用SciPy进行此操作，则还需要使用基础的Quadpack（Piessens等）例程求助于嵌套的自适应高斯正交。在Octave中，您将具有相同的方法。而且我也不会太惊讶，如果Matlab的还采用Quadpack为正交引擎（因为它是在参考）。