有限元矩阵稀疏结构的计算

问题：有哪些方法可以准确有效地计算有限元矩阵的稀疏结构？

信息：我正在使用Poerson压力方程求解器，使用Galerkin方法和二次Lagrange基础（用C编写），并使用PETSc进行稀疏矩阵存储和KSP例程。为了有效地使用PETSc，我需要为全局刚度矩阵预先分配内存。

目前，我正在做一个模拟程序集，以估计每行非零的数量，如下所示（伪代码）

int nnz[global_dim]
for E=1 to NUM_ELTS
  for i=1 to 6
    gi = global index of i 
    if node gi is free
      for j=1 to 6
        gj = global index of j
        if node gj is free 
          nnz[i]++

但是，这会高估nnz，因为某些节点之间的交互可能会在多个元素中发生。

我已经考虑过尝试跟踪发现的i，j交互，但是我不确定如何在不使用大量内存的情况下执行此操作。我还可以遍历节点，并找到以该节点为中心的基本功能的支持，但是随后我必须搜索每个节点的所有元素，这似乎效率很低。

我发现了这个最近的问题，其中包含一些有用的信息，特别是来自Stefano M的，他写了

我的建议是应用一些图论概念，以python或C语言实现它，即将矩阵中的元素视为图的边并计算邻接矩阵的稀疏结构。列表列表或键字典是常见的选择。

我正在寻找有关此的更多详细信息和资源。我承认我不太了解图论，而且我对所有可能有用的CS技巧都不熟悉（我从数学的角度出发）。

谢谢！

您的想法是跟踪您发现的i，j交互可以起作用，我认为这就是您和Stefano M所指的“ CS技巧”。这相当于以列表格式构造稀疏矩阵。

不知道您有多少CS，因此，如果您已经知道这一点，我深表歉意：在链接列表数据结构中，每个条目都存储一个指向该条目后面和该条目之前的指针。在其中添加和删除条目很便宜，但在其中查找条目并不那么简单-您可能必须仔细检查所有条目。

因此，对于每个节点i，您都存储一个链表。然后，您遍历所有元素；如果您发现两个节点i和j已连接，则可以查看i的链表。如果j还不存在，则将其添加到列表中，同样将i添加到j的列表中。如果按顺序添加它们是最简单的。

填充列表列表之后，您现在知道矩阵每一行中非零条目的数量：这是该节点列表的长度。这些信息正是您在PETSc的矩阵数据结构中预分配稀疏矩阵所需要的。然后，您可以释放列表列表，因为您不再需要它。

但是，此方法假定您所拥有的只是每个元素包含哪些节点的列表。

一些网格生成程序包（例如Triangle）不仅可以输出元素列表及其包含的节点，还可以输出三角测量中每个边的列表。在那种情况下，您不会冒高估非零输入项数量的风险：对于分段线性元素，每个边正好为您提供2个刚度矩阵输入项。您正在使用分段二次方，因此每个边都计入4个条目，但是您知道了。在这种情况下，您可以使用普通数组通过边缘列表一遍找到每行的非零条目数。

使用这种方法，您必须从硬盘读取一个特大文件，如果您的实际计算量不那么大，那实际上比使用元素列表要慢。尽管如此，我认为它更简单。

如果将网格指定为DMPlex，将数据布局指定为PetscSection，则DMCreateMatrix（）将自动为您正确分配预分配的矩阵。这是泊松问题和斯托克斯问题的 PETSc示例。

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我个人不知道这样做有什么便宜的方法，所以我只是高估了数字，即对所有行使用合理的大值。

例如，对于由线性8节点十六进制元素组成的结构完美的网格，对角线块和非对角线块中每行的nnz均为dof * 27。对于大多数完全非结构化的自动生成的六边形网格，数量很少超过dof * 54。对于线性Tet，我从来不需要超越dof * 30。对于某些形状/形状比例非常低的网格物体，可能必须使用稍大的值。

代价是本地（等级）内存消耗介于2x-5x之间，因此您可能需要在群集上使用比平时更多的计算节点。

顺便说一句，我确实尝试过使用可搜索列表，但是确定稀疏结构所花费的时间比组装/解决所花费的时间更多。但是我的实现非常简单，并且没有使用边缘信息。

另一个选择是使用本示例中所示的DMMeshCreateExodus之类的例程。

您正在寻找所有唯一的（gi，gj）连接，这建议将它们全部放入一个（非重复的）关联容器中，然后计算其基数-在C ++中，这将是一个std :: set <std :: pair <int，int>>。在伪代码中，将“ nnz [i] ++”替换为“ s.insert [pair（gi，gj）]”，然后非零的最终数量为s.size（）。它应在O（n-log-n）时间中运行，其中n是非零数。

由于您可能已经知道了可能的gi的范围，因此可以通过gi索引“展开”表以提高性能。这将用std :: vector <std :: set <int>>替换您的集合。您用“ v [gi] .insert（gj）”填充，然后非零的总数来自所有gi的v [gi] .size（）的总和。这应该以O（n-log-k）的时间运行，其中k是每个元素的未知数（对于您而言，六个-基本上是大多数pde代码的常数，除非您谈论的是hp方法）。

（注意-希望这是对所选答案的评论，但时间太长-抱歉！）

$E^T$$\times$