大密度低秩分配问题

是否有合理便宜的方法来解决大型，密集，低等级的分配问题 $\max_\pi \sum_i A_{\pi i,i}$ ，其中遍历所有permutations.of ？ $\pi$ $1:n$

这里 $A$ 是低秩 $n\times n$ × 矩阵。典型大小为（可能更大），。 $r$ $n=10000~~$ $r=15$

optimization

通过你的意思是产品让你通过矩阵不同的跨步？

π i

$\pi i$

π

$\pi$

— Bill Barth

π

$\pi$ 将遍历所有排列。

— 阿诺德·诺伊迈耶

那不应该是吗？

A_{π (i), i}

$A_{\pi(i),i}$

— Jack Poulson

@JackPoulson：和是排列下的图像的两种不同表示法。

\i (i)

$\i(i)$

π i

$\pi i$

i

$i$

π

$\pi$

— Arnold

有趣的问题！您是否仅出于存储原因而希望利用低阶结构，即在应用传统分配算法时不必形成整个矩阵？还是您正在寻找一种利用低排名来加速搜索的方法？

— 迈克尔·格兰特

由于与，我们有其中是对应于的置换矩阵。 $A=R_1R_2^T$ $R_1, R_2\in \mathbb{R}^{n \times r}$

\sum_{i} A_{π i, i} = \sum_{i} (P_{π} A)_{i, i} = trace (P_{π} R_{1} R_{2}^{T})

$\sum_i A_{\pi i, i} = \sum_i (P_{\pi} A)_{i, i} = \text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T)$

P_{π}

$P_{\pi}$

π

$\pi$

对于任何，跟踪可以计算为（此数量也称为Frobenius乘积，）。 $\pi$

跟踪 （ P_{π} {[R}_{1个} {[R}_{2}^{Ť} ） = \sum_{一世} \sum_{ķ} （ P_{π} {[R}_{1个} ）_{一世 ， ķ} （ {[R}_{2}^{Ť} ）_{ķ ， 一世} = \sum_{一世 ， ķ} （ （ P_{π} {[R}_{1个} ） \circ {[R}_{2} ）_{一世 ， ķ} 。

$\text{trace}(P_{\pi}R_1R_2^T) = \sum_{i} \sum_{k} (P_{\pi}R_1)_{i,k} (R_2^T)_{k,i} = \sum_{i,k} ((P_{\pi}R_1)\circ R_2)_{i,k}.$

P_{π} R_{1} : R_{2}

$P_{\pi}R_1:R_2$

这个想法并没有消除必须进行所有排列和蛮力搜索以获取所有Frobenius乘积最大值的负担，并且实际上具有与显式计算相同的算法复杂度。然而，它具有非常低的内存需求，因为你从来没有真正形成。 $A=R_1R_2^T$ $A$

— 尼科·施洛默（NicoSchlömer）
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