密度泛函理论如何随系统规模缩放？

从理论上讲，进行密度泛函理论（DFT）计算的时间如何随电子数量而变化？我对VASP，ABINIT等“典型” DFT实现感兴趣，而不是O（N）代码。

最简单的正确答案是DFT以。这是因为您最终将对角线化的哈密顿量与选举次数成正比，对角化从技术上说是O （n 3）。$O(N_e^3)$$O(n^3)$

实际上，DFT是一堆步骤，不同的步骤在不同的上下文中会限制速率。如果我们将自己限制在平面波（PW）DFT（VASP，ABINIT，QE等）上，那么我们可以做出更强有力的陈述。了解PW DFT代码的一个重要思想是，哈密顿量永远不会存储为大矩阵。取而代之的是，计算哈密顿算子的作用并将其用于通常是“内部”迭代对角化器（共轭梯度，戴维森等）中。这些对角化器的形式为，其中M V是计算哈密顿量作用的成本，但是鉴于它们在较大的自洽算法中的作用，它们的执行速度往往更快。$O(n_e MV)$$MV$

计算哈密顿量作用的过程分为两个步骤：

• $O(n_v \ln n_v)$
• $O(n_a n_p)$$O(n_a n_p n_v)$
• 非局部电位或者是对角线或，方框对角线或，分别$O(n_a n_p)$$O(n_a n_p^2)$

所有这些都必须对每个电子发生一次（实际上是波函数），因此要为所有电子增加倍。$n_e$

通过某种方式（例如，Gram-Schmidt），波函数（哈密顿量的本征函数）必须保持彼此正交，$O(n_e^2 n_v)$

最后，波函数需要组成一个电子密度。在PW码中，这是通过每个波函数（和）和最后一个FFT。$O(n_e n_v \ln n_v)$

请注意，我输入了几个不同的：与体积有关（实际上，它是基本大小），是每个原子的投影仪数量，是原子数量，数量电子。形式上，和彼此线性相关（是一个小整数），但是您可以想象在固定数量的电子下增加体积（在平板/线几何中增加真空）或在以下情况下增加投影仪的数量：固定数量的原子和电子（使用更精确的伪电势）。$n$$n_v$$n_p$$n_a$$n_e$$n_v$$n_a$$n_e$$n_p$

常见的情况是问题是受FFT限制的，在这种情况下，问题实际上是，即使在技术上不正确，这在文献中还是比较常见的答案。$O(n^2 \ln n)$