带导数的数字正交

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大多数求积分的数值方法都将被积数视为黑盒函数。如果我们有更多信息怎么办？特别是，如果了解被积物的前几个导数，我们可以从中得到什么好处？还有哪些其他信息可能有价值？

特别是对于导数：基本正交（矩形/梯形/辛普森规则）的误差估计密切相关。也许有一种方法可以预先选择采样分辨率，而不是依靠动态适应性？

我对单变量和多维情况都感兴趣。

quadrature error-estimation

— 麦考林
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只是一个小小的修正：矩形，梯形和辛普森规则是牛顿-科茨类型规则，而不是高斯正交。

— Pedro

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我认为这并不是您的初衷，但是为了完整起见，让我们从一些基础知识开始。最求积公式，例如牛顿-科茨和高斯是基于这样的理念，为大约评价函数的积分，可以近似的，例如，通过一个多项式，然后就可以整合完全相同的功能：

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} c_{j} p_{j} (x) d x = \sum_{j} c_{j} \int_{a}^{b} p_{j} (x) d x .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$

Newton-Cotes和Gauss基于Lagrange插值法，这意味着您可以使用给定函数在一组节点上对给定函数进行插值（对于Newton-Cotes是均匀间隔的，并且在一定意义上对于Gauss是最优选择的）。在这种情况下，，而多项式节点基函数上的积分恰好是正交权重。 $x_j$ $c_j = f(x_j)$ $p_j$

相同的方法适用于Hermite插值，即使用函数值及其派生值在一组节点上按一定顺序进行插值。在功能和一阶导数值只，你必须的情况下（如果您想了解它的工作原理，可以使用Matlab的实现。）

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} f (x_{j}) p_{j} (x) + f^{'} (x_{j}) q_{j} (x) d x = \sum_{j} f (x_{j}) w_{j} + f^{'} (x_{j}) {\bar{w}}_{j} .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$

这涉及到高斯积分的一个变种，叫高斯-勒让德积分，其中的节点被选择的精确，使权重消失（这是一个事实，另一种解释是高斯积分与肿大的确切顺序）。我认为这至少部分回答了第二段中的问题。因此，通常使用高斯求积法代替Hermite插值法，因为您得到的点数相同，阶数相同，但是不需要导数信息。 $\bar w_j$ $N$ $2N-1$

对于多维正交，您面临的问题是，随着阶次的增加，需要评估的导数（包括混合导数）的数量会非常快地增长。

回到您的问题：利用派生信息的一种直接方法是对集成域进行细分，并对每个分区使用单独的正交。如果您知道函数的导数在域的某些部分较大，则可以使用较小的域（实际上是求和的正交公式）或较高的正交顺序。在有限元方法中，这分别与h 适应性和p适应性有关。

— 克里斯蒂安·克拉森
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有许多“更正”的集成规则可调用端点的派生类。一个简单的例子是校正的梯形法则。假设我们希望近似积分

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_a^bf(x)\,dx.$

令为整数，。然后是梯形法则 $n$ $h=(b-a)/n$

T = \frac{h}{2} (f (a) + 2 f (a + h) + 2 f (a + 2 h) + \dots + 2 f (a + (n - 1) h) + f (b))

$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$

提供积分的简单近似，误差为。但是，“已校正”梯形法则： $h^2$

T^{'} = T - \frac{h^{2}}{12} (f^{'} (b) - f^{'} (a))

$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$

大大提高了准确性。例如，考虑

I = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

并选择。的精确值是14位小数 $n=8$ $I$

0.74682413281243

$0.74682413281243$

和的值是 $T$ $T'$

0.7458656148457, 0.74682363422375

$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$

分别。错误是

| I - T | = 9.5851796673207534 \times 10^{- 4}

$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$

和

| I - T^{'} | = 4.9858868145236102 \times 10^{- 7}

$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$

显示准确性显着提高。还有其他更进一步的修正，涉及到更高的导数，或者从其他牛顿-科茨规则或高斯类型规则开始。

— 阿拉斯代尔
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5

除了在其他答案中提到的基于Newton-Cotes的方法外，现在还有所谓的Gauss-Turán正交（请参见this和this，以及Walter Gautschi 的古老参考文献）。这是对通常的高斯求积的一种概括，现在人们可以利用该函数的导数的知识来找到最佳的横坐标和权重集合，从而产生一个将该形式的函数进行积分的正交规则 $\text{polynomial}\times\text{weight function}$ 究竟。不出所料，使用此规则，现在应该可以在任意实点上评估函数及其许多派生函数。在通常的地方进行搜索应该能够找到更多参考。

— JM
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4

尽管该线程已经很老了，但我认为参考一些经过同行评审的论文来概括一些常见的正交规则可能会很有用。

Nenad Ujevic，“修改后的Simpson规则和误差范围的概括”，ANZIAM杂志，第1卷。47，2005年。

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

我认为，提供一个可以自由访问且参考其他论文的良好参考将很有用。

如上面的Alasdair所述，包括端点的导数可以显着提高准确性。例如，Ujevic和Roberts表明，向辛普森法则添加一阶导数会将网格间距的误差降低到6阶，而没有导数则为4阶。Ujevic论文表明，甚至可以找到更严格的错误范围。

N. Ujevic和AJ Roberts，校正后的正交公式和应用，ANZIAM J.，45（E），（2004），E41-E56。 http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

（克里斯蒂安·克拉森（Christian Clason）建议我在评论中添加一条评论，因为他认为我所提供的参考是好的参考，如果在某个阶段删除了这些评论，它们可能会丢失。）

— 裂蝇
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您能否评论文章中提供的结果？

— nicoguaro

现在，我可以拥有足够的代表积分！我认为，提供一个可以自由访问且参考其他论文的良好参考将很有用。如上面的Alasdair所述，包括端点的导数可以显着提高准确性。例如，在我链接的论文的参考文献6中，Roberts和Ujevic表明，将一阶导数添加到Simpson规则中可将网格间距的误差降低到6阶，而没有导数则为4阶。Ujevic论文表明，甚至可以找到更严格的错误范围。

— Lysistrata'1

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@Lysistrata这是一个很好的参考。您可以将评论编辑成答案吗？评论会消失，可惜丢掉它们。

— 克里斯蒂安·克拉森