二阶六面体有限元是否需要8个高斯点？

在不引入非物理模式的情况下，具有少于8个高斯点的六面体有限元是否可以获得二阶精度？单个中心高斯点引入了非物理剪切模式，并且与四面体离散化相比，8个高斯点的标准对称排列昂贵。

编辑：有人要求方程式。我感兴趣的方程是动态或准静态的非线性弹性。准静态方程为

\nabla \cdot P （ \nabla ϕ ） = 0

$\nabla \cdot P\left(\nabla \phi \right) = 0$

其中，和是超弹性的第一Piola-Kirchoff应力函数。一个简单的例子是可压缩的新霍克函数，其中 $\phi : \Omega \to \mathbf{R}^3$ $\Omega \subset \mathbf{R}^3$ $P : \mathbf{R}^{3 \times 3} \to \mathbf{R}^{3 \times 3}$

P （ F ） = μ （ F - F^{- Ť} ） + λ F^{- Ť} 日志 t F

$P(F) = \mu (F - F^{-T}) +\lambda F^{-T} \log \det F$

finite-element accuracy

— 杰弗里·欧文
source

您到底在模拟什么？

— 丹

目前线性弹性，但问题通常是非线性弹性。

— 杰弗里·欧文

您可能应该包括您感兴趣的方程式，因为“非物理”的定义取决于它们。或至少精确地定义“物理”功能的空间。

— David Ketcheson，2012年

添加了方程式。

— 杰弗里·欧文

使用dPhi / dx，您是指梯度吗？

— Wolfgang Bangerth，2012年

Answers:

就有限元实体力学模拟而言，不使用稳定力就不能使用少于8个正交点。如果是不可压缩的材料（根据您的情况），为了达到准确的目的，最好的解决方案是使用混合配方。您可以参考Simo和Hughes的著作：http : //books.google.fr/books/about/Computational_inelasticity.html ? hl=fr&id= ftL2AJL8OPYC。

— 尼古拉斯·塔迪厄（Nicolas Tardieu）
source

相对明显的是，每个单元的正交点通常不会少于自由度。对于3d六面体上的三线性元素，存在8个自由度（每个顶点一个），因此正交点的最小数量也应为8。

这是不可逆的，因此完全无用。原因是，单点积分公式无法区分在正交点处具有相同值的所有线性函数（试验空间的一部分）。换句话说，对于中点规则，形状函数“ x”与函数“ 0”相同，而函数“ -x”相同。换句话说，尽管试用空间的维度2为精确积分，但对于中点规则，该空间的维度为1，即使存在两个自由度-这也不是唯一溶剂的空间定义。）对于中点规则，形状函数“ x”与函数“ 0”相同，而函数“ -x”相同。换句话说，尽管试用空间的维度2为精确积分，但对于中点规则，该空间的维度为1，即使存在两个自由度-这也不是唯一溶剂的空间定义。）对于中点规则，形状函数“ x”与函数“ 0”相同，而函数“ -x”相同。换句话说，尽管试用空间的维度2为精确积分，但对于中点规则，该空间的维度为1，即使存在两个自由度-这也不是唯一溶剂的空间定义。）

— 沃尔夫冈·邦格斯
source

我认为杰夫的问题更加微妙。对于形状良好的域中四面体上的连续有限元素空间（例如，没有孤立的元素），您可以摆脱单点积分，这显然是积分不足的。问题是，是否还可能以某种方式与六面体元素欠集成。我不知道答案，但是我不确定这有多大问题，因为正交点不需要额外的内存移动。向量化有限元残差评估后，通常会受到内存的限制，因此使用触发器可能会更好。

— 杰德·布朗

关于记忆运动的要点。

— 杰弗里·欧文

进一步解释Jed的观点：上面“ obvious”参数为false的原因是，每个正交点都具有 ×矩阵。对于四面体，它涵盖了顶点的所有运动，但不影响能量或作用力的均匀平移（不影响能量），因此一个正交点足以满足一阶精度要求。

3 \times 3

$3 \times 3$

— 杰弗里·欧文

注释不能包含换行符，这非常不便。

— 杰弗里·欧文

@JedBrown：好点。tets上的线性函数的梯度是常数，因此遵循质量矩阵I的参数I（刚度矩阵是梯度的质量矩阵:-），一个正交点就足够了。另一方面，六面体上的三线性函数的梯度是（各向异性）二次函数，因此每个坐标方向肯定需要多个正交点。

— Wolfgang Bangerth 2012年