为什么等距点的表现不好？

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实验说明：

在拉格朗日插值中，精确的方程在 $N$ 个点（多项式 $N - 1$ ）处采样，并在101个点处插值。这里从2变化到64。每个时间，和制备误差图。可以看出，当在等距点对函数进行采样时，误差开始下降（直到小于约15时才会发生），然后误差随着进一步增加而上升。 $N$ $L_1$ $L_2$ $L_\infty$ $N$ $N$

而如果初始采样是在Legendre-Gauss（LG）点（Legendre多项式的根）或Legendre-Gauss-Lobatto（LGL）点（Lobatto多项式的根）进行的，则误差降至机器级别，并且不会当进一步增加时增加。 $N$

我的问题是

等距点到底会发生什么？

为什么多项式阶数增加会导致误差在某个点之后上升？

这是否还意味着如果我将等距点用于WENO / ENO重建（使用拉格朗日多项式），那么在平滑区域中，我会得到错误？（嗯，这些只是假设的问题（以我的理解），对于WENO方案，重建15或更高阶数的多项式确实是不合理的）

额外细节：

功能近似：

$f(x) = \cos(\frac{\pi}{2}~x)$ ， $x \in [-1, 1]$

$x$ 分为等距点（以后称为LG）点。每次在101点插值该函数。 $N$

结果：

a）等距点（插值）： $N = 65$

在此处输入图片说明

b）等距点（误差图，对数刻度）：

在此处输入图片说明

a）LG点（插值）： $N = 65$
b）LG点（误差图，对数刻度）：

在此处输入图片说明

— 苏博德
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26

等距点的问题是插值误差多项式，即

f (x) - P_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} \prod_{i = 0}^{n} (x - x_{i}), ξ \in [x_{0}, x_{n}]

$f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x - x_i),\quad \xi\in[x_0,x_n]$

节点不同集合的行为不同。在等距点的情况下，该多项式在边上爆炸。 $x_i$

如果使用Gauss-Legendre点，则误差多项式的表现会更好，即不会在边缘爆炸。如果使用Chebyshev节点，则该多项式将振荡，并且插值误差最小。

— 佩德罗
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6

在John P. Boyd Chebyshev和Fourier Spectral Methods 的书中有相当详细的解释，其中Pedro的插值误差多项式也得到了很好的解释（第4.2章，第85页）。

— 2013年

谢谢。上述选择的Lebesgue常数的行为也有所不同。对于等距点，Lebesgue常数呈指数增加，而对于LG，LGL，Chebyshev，其随着n的增加而饱和。 en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_constant_(interpolation）， ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_33_from109to123.pdf，但仍然对于数值实现问题依然存在...

— 苏博德

抱歉，我对ENO / WENO不太了解。但是我不希望低阶插值在平滑区域出现问题，尽管出于明显的原因，正交节点绝对是更好的选择。

— 2013年

22

这是一个非常有趣的问题，并且有很多可能的解释。如果我们尝试使用多项式插值，则请注意多项式满足以下令人讨厌的不等式

给定一个多项式度不超过我们有 $P$ $N$

| P^{'} (x) | \leq \frac{N}{\sqrt{1 - x^{2}}} max_{x} | P (x) |

$|P^{\prime}(x)| \leq \frac{N}{\sqrt{1-x^2}}\max _x |P(x) |$

对于每个。这被称为伯恩斯坦不等式，请注意这种不等式的奇异性。这可以由马尔可夫不等式来界定 $x \in (-1,1)$

max_{x} | P^{'} (x) | \leq N^{2} max_{x} | P (x) |

$\max _x |P^{\prime} (x) | \leq N^2 \max _x |P(x) |$

并请注意，从Chebysehv多项式将此方程式表示的意义上来说，这很明显。因此，换句话说，我们具有以下组合边界。

| P^{'} (x) | \leq min (\frac{N}{\sqrt{1 - x^{2}}}, N^{2}) max_{x} | P (x) |

$|P^{\prime}(x)| \leq \min \left(\frac{N}{\sqrt{1-x^2}},N^2\right)\max _x |P(x) |$

这意味着什么：多项式的梯度在各处都以其顺序线性增长，除了在区间边界的小邻域中。在边界处，它们的生长更像。稳定的插值节点在边界附近都具有聚类绝非偶然。聚类对于控制基础的渐变是必需的，而在中点附近可以稍微放宽一些。 $N^2$ $1/{N^2}$

但是事实证明，这不一定是多项式现象，我建议以下论文：

http://math.la.asu.edu/~platte/pub/prevised.pdf

它粗略地说：如果您具有多项式基的近似幂，那么您就不能以稳定的方式使用等距的点。

— 里德·阿切森
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1

问题不是等距的点。问题是基础功能以及等距点的全局支持。在Kress的数值分析中描述了使用等间距点的条件良好的插值法，它使用紧支撑的三次b样条基函数。

— 用户14717
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当然可以，但是您的插值将不会全局平滑（对于您的示例而言，仅

）

C^{2}

$C^2$

— GoHokies

@GoHokies：通过迭代卷积可以使所需紧密支撑的样条曲线平滑。什么是用例

插值？

C^{\infty}

$C^{\infty}$

— user14717 '18

有道理。对于大多数应用，

（“位置-速度-加速度”）就足够了。您可能需要

来解决一些边值问题，但无法想到上面的任何常见用例。

C^{2}

$C^2$

C^{4}

$C^4$

— GoHokies

1

等距点到底会发生什么？

为什么多项式阶数增加会导致误差在某个点之后上升？

这与龙格现象相似，在龙格现象中，对于等距节点，插值误差随多项式次数（即点数）的增加而变为无穷大。

如@Subodh对@Pedro答案的评论所指出的，该问题的根源可以在Lebesgue常数中找到。该常数使插值与最佳逼近相关。

一些符号

我们有一个函数来内插过的节点。在Lagrange插值中定义了Lagrange多项式： $f \in C([a,b])$ $x_k$

L_{k} (x) = \prod_{i = 0, i \neq j}^{n} \frac{x - x_{i}}{x_{k} - x_{i}}

$L_k(x) = \prod_{i=0, i\neq j}^{n}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}$

与此被定义的内插多项式在夫妇用于光符号 $p_n \in P_n$ $(x_k, f(x_k))$ $(x_k, f_k)$

p_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} f_{k} L_{k} (x)

$p_n(x) = \sum_{k=0}^n f_kL_k(x)$

$\tilde{f}_k$ $\tilde{p}_n$

{\tilde{p}}_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} {\tilde{f}}_{k} L_{k} (x)

$\tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n \tilde{f}_k L_k(x)$

错误估计为：

p_{n} (x) - {\tilde{p}}_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (f_{k} - {\tilde{f}}_{k}) L_{k} (x)

$p_n(x) - \tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n (f_k - \tilde{f}_k) L_k(x)$

| p_{n} (x) - {\tilde{p}}_{n} (x) | \leq \sum_{k = 0}^{n} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} | | L_{k} (x) | \leq (max_{k} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} |) \sum_{k = 0}^{n} | L_{k} (x) |

$| p_n(x) - \tilde{p}_n(x) | \leq \sum_{k=0}^n |f_k - \tilde{f}_k| |L_k(x)| \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$

$\Lambda_n$

Λ_{n} = max_{x \in [a, b]} \sum_{k = 0}^{n} | L_{k} (x) |

$\Lambda_n = \max_{x \in [a,b]} \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$

有了这个最终的估计是：

| | p_{n} - {\tilde{p}}_{n} | |_{\infty} \leq (max_{k} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} |) Λ_{n}

$|| p_n - \tilde{p}_n ||_{\infty} \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \Lambda_n$

$\infty$ $L^{\infty} \subseteq \dots \subseteq L^1$

$\Lambda_n$

与日期无关：
仅取决于节点分布；
稳定性的指标（数值越小越好）。

$|| \cdot||_\infty$

通过遵循定理，我们可以得出带有Lebesgue常数的插值误差的估计值：

$f$ $p_n$
$| | f - p_{n} | |_{\infty} \leq (1 + Λ_{n}) d_{n} (f)$ $|| f - p_n ||_{\infty} \leq (1 + \Lambda_n) d_n(f)$ $d_{ñ} （ F ） = \underset{q_{ñ} \in P_{ñ}}{信息} | | F - q_{ñ} | |_{\infty}$ $d_n(f) = \inf_{q_n \in P_n} || f - q_n ||_{\infty}$

$\Lambda_n$

$\Lambda_n$ $c$

Λ_{ñ} \geq \frac{2}{π} 日志 （ ñ ） - C

$\Lambda_n \geq \frac{2}{\pi} \log(n) - c$

Λ_{ñ} \approx \frac{2^{ñ + 1个}}{Ë ñ 日志 （ ñ ）}

$\Lambda_n \approx \frac{2^{n+1}}{en \log(n)}$ 我省略了一些细节，但是我们看到增长是指数级的。

对于 Chebyshev节点

Λ_{ñ} \leq \frac{2}{π} 日志 （ ñ ） + 4

$\Lambda_n \leq \frac{2}{\pi} \log(n) + 4$ 在这里我也省略了一些细节，有更加准确和复杂的估计。有关更多详细信息，请参见[1]。请注意，切比雪夫（Chebyshev）家族的节点已经得到对数增长，根据先前的估计，它接近于您可以获得的最好值。

对于其他节点分布，请参见本文的表1 。

书中有很多关于插值的参考。在网上这些幻灯片作为简历很好。

也是此公开文章（[1]）

区间上多项式的数值七格插值比较，用于各种比较。

— 毛罗·凡泽托（
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1

当您必须（或想要）使用等距点时，最好知道Floater-Hormann插值 $\{x_i\}_{i=1\ldots n}$ 。

给定整数 $d$ 与 $0 \le d \le n$ ，让 $p_i$ 是...的多项式插值 $\{ x_i, \ldots x_{i+d} \}$ 。然后是函数的FH插值 $f$ 在 $\{x_i\}_{i=1\ldots n}$ 具有形式

{[R}_{ñ} （ X ） ：= \frac{\sum_{一世 = 0}^{ñ - d} λ_{一世} （ X ） p_{一世} （ X ）}{\sum_{一世 = 0}^{ñ - d} λ_{一世} （ X ）}

$r_n(x) := \frac{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x) \, p_i(x)}{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x)}$

与“混合功能”

λ_{一世} （ X ） = \frac{（ - 1个 ）^{一世}}{（ X - X_{一世} ） \dots （ X - X_{一世 + d} ）}

$\lambda_i(x) = \frac{(-1)^i}{(x-x_i) \ldots (x - x_{i+d})}$

这些插值器的一些属性：

它们是重心型有理插值，没有真正的极点 ;
达到任意近似阶数 ${\cal O}(h^{d+1})$ 对于 $f \in C^{d+2}[a,b]$ ，无论点数的分布；
与样条曲线有些相似，因为它们混合了（局部）多项式插值 $p_0, \ldots p_{n-d}$ 与 $\lambda$ 充当混合功能；
他们最多复制度的多项式 $d$ （要么 $d+1$ 如果 $n-d$ 很奇怪）；
可以重心形式书写（请参见Floater和Hormann论文的第4节）。

警告申领者：如预期的那样（请参阅@ Reid.Atcheson引用的论文），并不断增加 $d$ 快速降低了近似过程的条件。

克莱因最近做了一些工作来缓解这个问题。他通过添加以下内容修改了原始的Floater-Hormann方法 $2 d$ 对应于原始插值间隔之外的点的新数据值 $[a,b]$ 由的平滑扩展构造而成 $f$ 外 $[a,b]$ 仅使用给定的数据 $f_0, \ldots f_n$ 。然后，通过新的FH有理函数对该“全局”数据集进行插值 $r_{n+2d}$ 并仅在内部进行评估 $[a,b]$ 。

细节很好的布局在克莱因的文章（下面的链接），它表明这些延长有理插值有成长勒贝格常数对数与 $n$ 和 $d$ （而对于原始的FH计划，所说的增长是指数级的 $d$ ，请参阅Bos 等。）。

建设时Chebfun库使用FH插值chebfuns出均布的数据，如解释在这里。

参考文献：

MS Floater和K.Hormann，无极重逼近的重心有理插值，Numerische Mathematik 107（2007）。

G. Klein，重心有理插值的Floater-Hormann族的扩展，计算数学，82（2011）- 预印本

L. Bos，S。De Marchi，K。Hormann和G. Klein，关于等距节点上重心有理插值的Lebesgue常数，Numer。数学。121（2012）

— GoHokies
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