高振荡积分计算的最新技术是什么？

将一维和更高维上的高振荡积分逼近到任意精度的最新技术是什么？

我对培养皿（多维集成）现在所做的事情并不完全熟悉，因此我将自己局限于正交公式。

有许多有效的方法来求振荡积分的平方。有适合于有限振荡积分的方法，也有适合无限振荡积分的方法。

对于无限振荡积分，使用的两种更有效的方法是Longman方法和由于Ooura和Mori导致的修正双指数正交。（但另请参阅Arieh Iserles的这两篇 论文。）

Longman的方法依赖于通过分割积分间隔将振荡积分转换为交替序列，然后使用序列变换方法将交替序列求和。例如，当积分形式为振荡的积分时

一个将其转换为交替总和

用诸如Romberg方案或高斯正交之类的一些正交方法来计算此交替和的项。Longman的原始方法使用了Euler变换，但是现代的实现方式用更强大的收敛加速方法（例如Shanks变换或Levin变换）代替了Euler 。

该双指数正交法，而另一方面，使变量的变化巧妙，然后使用梯形规则进行数值评价转化积分。

对于有限的振荡积分，Piessens（QUADPACK的贡献者之一）和Branders在两篇 论文中详细介绍了Clenshaw-Curtis正交积分的一种修改（即，构造被积数的非振荡部分的Chebyshev多项式展开式）。另一方面，莱文的方法对正交使用并置方法。（有人告诉我，Filon的方法现在有一个更实用的旧备用数据库版本，但是我对此没有经验。）

这些是我记得的方法。我确定我已经忘记了振荡积分的其他好的方法。如果我记得他们，我将在稍后编辑此答案。

除了“多维与单维”和“有限范围与无限范围”之外，方法的重要分类是“一种特定类型的振荡器（通常是傅立叶类型：，exp （i t ）等，或Bessel类型：J 0（t ）等）与更通用的振荡器（exp （i g （t ））或什至更通用的振荡器w （t ））”。$\sin(t)$$\exp(it)$$J_0(t)$$\exp(i g(t))$$w(t)$

首先，振荡积分方法主要针对特定​​的振荡器。正如JM所说的那样，突出的方法包括有限范围积分的Filon方法和Clenshaw-Curtis方法（这两个密切相关），以及无限范围积分的基于系列外推的方法和Ooura和Mori的双指数方法。

最近，发现了一些通用方法。两个例子：

1. $\exp(i g(t))$$w(t)$

2. Huybrechs和Vandewalle的方法基于沿着复杂路径的解析连续性，其中被积物是非振荡的（Huybrechs和Vandewalle 2006）。

对于更一般的方法，在有限范围和无限范围积分的方法之间没有区别是必要的，因为可以将压缩变换应用于无限范围积分，从而导致仍然可以使用通用方法解决有限范围的振荡积分，尽管一个不同的振荡器。

Levin的方法可以通过遍历维度和其他方式扩展到多个维度，但是据我所知，到目前为止，文献中描述的所有方法都具有作为一维样本点或其他东西的外积的样本点。随尺寸呈指数增长，因此很快就失控了。我不知道用于大尺寸的更有效的方法。如果可以发现稀疏网格上的高尺寸样本在应用中将很有用。

在大多数编程语言（C，Python，Fortran等）中，为更通用的方法创建自动例程可能会很困难，在这些语言中，您通常希望将被积分编程为函数/例程并将其传递给积分器例程，因为更多常规方法需要了解被积数的结构（哪些部分看起来像是振荡的，哪种类型的振荡器等），并且不能将其视为“黑匣子”。

您也可以检查Marnix Van Daele及其合作者的作品。例如参见this和this。