如何为带有源项的双曲型PDE构造均衡的有限体积和不连续Galerkin方法?


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源项(例如由于浅水方程中的测深法引起的项)需要以特殊方式进行积分,以保持物理稳态。是否有一般的方法来构建平衡的方法,或者每个方程式都需要特殊的技术?

Answers:


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简短的答案是:它需要为不同的方程式做特定的工作,但是有一些通用的技术建议如何做。本质上,给定一阶演化PDE

ut=Au+Bu

其中是一些(可能是微分)算子,稳态是那些A,B

Au+Bu=0.

通常使用拆分方法,其中以不同的方式离散化和然后,将存在与这些离散化中的每一个相关联的截断误差,并且即使在稳态的情况下,截断误差通常也不会消除。一个经典的例子(如问题中提到的)是带有测深的浅水方程,其中表示对流项,表示由于底部高度可变而引起的动量强迫。过去几年中发表了许多论文,它们提供了各种方法来精确维护稳态解决方案。B A BABAB

我喜欢的一种方法是使用Bale等人提出的f波Riemann求解器。我们的想法是离散与戈东诺夫型方法对流条件,但减去掉来自其他方面的贡献的Riemann解。然后,在稳态的情况下,不产生波。但是,这要求对流项和源项必须精确计算(以便精确抵消)。对于浅水方程,这是可能的,但对于许多其他系统,则更为困难。

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