如何为带有源项的双曲型PDE构造均衡的有限体积和不连续Galerkin方法？

源项（例如由于浅水方程中的测深法引起的项）需要以特殊方式进行积分，以保持物理稳态。是否有一般的方法来构建平衡的方法，或者每个方程式都需要特殊的技术？

简短的答案是：它需要为不同的方程式做特定的工作，但是有一些通用的技术建议如何做。本质上，给定一阶演化PDE

其中是一些（可能是微分）算子，稳态是那些$A,B$

通常使用拆分方法，其中以不同的方式离散化和然后，将存在与这些离散化中的每一个相关联的截断误差，并且即使在稳态的情况下，截断误差通常也不会消除。一个经典的例子（如问题中提到的）是带有测深的浅水方程，其中表示对流项，表示由于底部高度可变而引起的动量强迫。过去几年中发表了许多论文，它们提供了各种方法来精确维护稳态解决方案。B A $A$$B$$A$$B$

我喜欢的一种方法是使用Bale等人提出的f波Riemann求解器。等 。我们的想法是离散与戈东诺夫型方法对流条件，但减去掉来自其他方面的贡献中的Riemann解。然后，在稳态的情况下，不产生波。但是，这要求对流项和源项必须精确计算（以便精确抵消）。对于浅水方程，这是可能的，但对于许多其他系统，则更为困难。