如何对空间不均匀的数据进行FFT？

快速傅立叶变换算法在以下假设条件下计算傅立叶分解：输入点在时域中均等分布，$t_k = kT$。如果不是，那该怎么办？我是否可以使用另一种算法，或者以某种方式修改FFT，以说明什么是有效的可变采样率？

如果解决方案取决于样本的分发方式，那么我最感兴趣的是两种特定情况：

• 恒定的采样速率与抖动：其中δ 吨ķ是随机分布的变量。可以肯定地说| δ Ť ķ | < T /$t_k = kT + \delta t_k$$\delta t_k$$|\delta t_k| < T/2$。
• 丢弃样品从否则恒定采样率：其中Ñ ķ ∈ ž ≥ $t_k = n_k T$$n_k \in\mathbb{Z}\ge k$

动机：首先，这是对此站点的提案投票较高的问题之一。但是此外，不久前，我参与了有关FFT使用的讨论（由Stack Overflow的问题提示），其中出现了一些采样点不均匀的输入数据。原来，数据上的时间戳是错误的，但是这让我开始思考如何解决这个问题。

有很多用于非均匀FFT的技术，而最高效的技术恰恰适合您的情况：准均匀样本。基本思想是通过对高斯进行局部卷积，将不均匀采样的源涂抹到稍微更细（“过度采样”）的均匀网格上。然后可以在过采样的统一网格上运行标准FFT，然后可以撤消针对高斯的卷积。好的实现大约比d维的标准FFT的贵，其中C接近4或5。$C^d$$d$$C$

我建议阅读Greengard和Lee的《加速非均匀快速傅立叶变换》。

当源和/或评估点稀疏时，也存在快速（即或更快）的技术，并且还存在对更通用积分算子（例如，傅里叶积分算子）的推广。如果您对这些技术感兴趣，我建议通过蝶形算法和A快速蝶形算法进行稀疏傅里叶变换，以计算傅里叶积分算子。与标准FFT相比，这些技术所付出的代价是更高的系数。免责声明：$O(N^d \log N)$我的顾问撰写/撰写了这两篇论文，而我花了很多时间来并行化这两种技术。

重要的一点是，上述所有技术都是近似值，可以以较长的运行时间为代价任意精确地得出近似值，而标准FFT算法则是精确的。

在信号处理中，通过在采样之前通过低通滤波器发送信号来避免混叠。杰克·普尔森（Jack Poulson）已经解释了一种使用截断的高斯滤波器作为低通滤波器的非均匀FFT技术。截断的高斯函数的一个不便之处在于，即使您已经确定了FFT的网格间距（=信号处理中的采样率），您仍然拥有两个自由参数：高斯的宽度和截断半径。

因此，我更喜欢具有两个网格单元宽度的“帽子”功能作为低通滤波器。这具有零傅立叶阶数精确的效果，并且较低的傅立叶阶数将平方收敛。“帽子”函数的傅立叶变换很容易计算（这是Sinc函数的平方），从而简化了FFT之后卷积的撤消操作。注意，“帽子”函数是（居中的）晶胞特征函数与其自身的卷积。通过使单位单元自身回旋多次，并使用结果函数代替“帽子”函数，可以实现任何所需的收敛速度。

如果您对软件感兴趣，我可以建议您在此处找到NFFT库（在C中，它具有MATLAB的接口）。注意，同样的开发人员还有一个用于并行FFT计算的PFFT库，甚至一个用于并行非等距FFT的PNFFT库。

除了接受的答案。这是Greengard和Lee方法的开源实现的链接：https : //finufft.readthedocs.io/en/latest/ 它具有C，fortran，MATLAB，octave和python的包装。我相信FINUFFT是用C ++编写的。

它由纽约大学库兰特研究所，SFU，熨斗研究所（显然），德克萨斯大学奥斯汀分校和佛罗里达州立大学维护和使用。至少这些是我所知道的。

我自己使用的是旧版本，因为我很懒。请参阅：https：//cims.nyu.edu/cmcl/nufft/nufft.html

感兴趣的可能是日期补偿离散傅立叶变换：

Ferraz-Mello，S.，1981，从不等距的观测值估计周期，《天文杂志》，302：757-763。