具有非线性反应项的扩散方程的可能数值方案是什么？

$\Omega$ $u(x)$

- d 一世 v （ 一种 \nabla ü ） + C ü^{ñ} = F

$-\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f$

我的问题是：（1）假设Dirichlet边界条件为零，是否存在Sobolev理论来确定该方程的相应变式的适定性？如果是这样，我们应该考虑什么Banach空间？（2）这类方程式有哪些可能的数值方法？

pde finite-element

— 曹树豪
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通过“可能的数值方法”，您是在问离散化或代数求解器吗？

— 杰德·布朗

我看到两种方法：

1）任意f（u）。只需将f〜f（u0）放在等式的右侧，然后使用任何非线性求解器，定点方案是一个不错的选择，因为无论如何您都没有雅可比行列式。由于无法利用Jacobian（通常未知），因此最容易实现和使用，但性能最一般，但性能可能较差。

2）f（u）分解为级数（多项式，傅立叶）。更难于实现和使用，对于某些特殊功能可能是困难/不可能的。但是作为回报，您可以采用类似牛顿法的方法来计算和利用雅可比行列式，这通常会带来出色的性能。

— 多米尼克云雀
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f

$f$

u

$u$

u^{n}

$u^n$

您应该在f中添加u ^ n。然后，您将获得反应项的简单多项式形式，最好使用方法2）处理。

— Dominik Lark 2012年