对于实现高阶收敛的多物理场PDE，是否有运营商拆分方法？

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给定一个演化PDE

ü_{Ť} = 一种 ü + 乙 ü

$u_t = Au + Bu$

其中是（可能是非线性的）不求通的微分算子，一种常见的数值方法是在求解之间交替 $A,B$

ü_{Ť} = 一种 ü

$u_t = Au$

和

ü_{Ť} = 乙 ü 。

$u_t = Bu.$

最简单的实现方法称为Godunov拆分，精度为一阶。另一种众所周知的方法称为Strang分裂，是二阶精确的。是否存在高阶算子拆分方法（或替代的多物理场离散化方法）？

pde multiphysics operator-splitting

— 大卫·凯奇森
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1

术语是刚性的还是非刚性的？您是否具有应用A和B的函数，或者仅具有将状态从

推进到

？在一种是刚性的而另一种是非刚性的情况下，有许多有趣的方法。

t^{n}

$t^n$

t^{n + 1}

$t^{n+1}$

— 杰德·布朗

7

据我了解，BCH公式是一种系统的方法，可以近似计算两个非交换矩阵的矩阵指数。

— 马特·奈普利
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但是，即使PDE是真实的，这也不会导致复杂的术语吗？人们是否将其用于高于二阶离散化？

— David Ketcheson

1

并非来自我的记忆（或网页）。这导致很多换向器。在量子多体中，有简化这些表达式的好方法。

— Matt Knepley 2011年

7

如果考虑通用运算符A和B，并且只想进行正时间步长（这是解决抛物线问题时通常需要的时间步长），则有2的阶数障碍，即，使用任何形式的分裂，都无法获得收敛速度高于2。S. Blanes和F. Casas在最近的论文中提供了基本证明，网址为http://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf。

但是，如果您对问题有更多了解，有几种解决方法：

假设您可以在时间上向后求解方程（这对于例如Schrödinger方程来说很常见），那么可以进行许多拆分，请参阅Hairer，Lubich和Wanner撰写的《几何数值积分》一书。
如果您的算子生成了解析半群，即您可以为t插入复数值（对于抛物线方程组是典型的），最近发现可以通过进入复数平面获得更高阶的分裂。关于此方向的第一篇文章由E. Hansen和A. Ostermann撰写，http：//www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf和F. Castella，P. Chartier ，S。Descombes和G. Vilmart。在某种意义上，选择“最佳”的复杂拆分是当前研究的主题，您可以在arxiv上找到有关该主题的几篇论文。

总结：如果对问题做出一些假设，则可以得到一些结果，但是如果没有，则最大阶数为2。

PS .：由于防止垃圾邮件，我不得不删除与Castella等人论文的链接，但您可以在Google上轻松找到它。

— 菲利普·德塞克
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LBNL 的CCSE小组最近在具有复杂化学反应的低马赫数流中使用了光谱延迟校正（SDC）方法。他们将SDC结果与Strang分裂进行了比较，结果非常有希望。

这是详细的草稿：具有复杂化学物质的低马赫数流的延迟校正耦合策略

请注意，SDC方案是一种收敛到高阶精确配置解决方案的迭代方案，但它是从一阶方法构建的。

— 马修·埃米特
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至少在原理上，可以通过频谱延迟校正方法来减小分裂误差。但是，这似乎是一个活跃的研究领域，并不是真正可以普遍使用的东西。

— 布赖恩
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在这里可以找到列出了很多高阶分割方案的新资源：

http://www.asc.tuwien.ac.at/~winfried/splitting/

— 大卫·凯奇森
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