对于实现高阶收敛的多物理场PDE,是否有运营商拆分方法?


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给定一个演化PDE

üŤ=一种ü+ü

其中是(可能是非线性的)不求通的微分算子,一种常见的数值方法是在求解之间交替一种

üŤ=一种ü

üŤ=ü

最简单的实现方法称为Godunov拆分,精度为一阶。另一种众所周知的方法称为Strang分裂,是二阶精确的。是否存在高阶算子拆分方法(或替代的多物理场离散化方法)?


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术语是刚性的还是非刚性的?您是否具有应用A和B的函数,或者仅具有将状态从推进到t n + 1的算法?在一种是刚性的而另一种是非刚性的情况下,有许多有趣的方法。ŤñŤñ+1个
杰德·布朗

Answers:


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据我了解,BCH公式是一种系统的方法,可以近似计算两个非交换矩阵的矩阵指数。


但是,即使PDE是真实的,这也不会导致复杂的术语吗?人们是否将其用于高于二阶离散化?
David Ketcheson

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并非来自我的记忆(或网页)。这导致很多换向器。在量子多体中,有简化这些表达式的好方法。
Matt Knepley 2011年

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如果考虑通用运算符A和B,并且只想进行正时间步长(这是解决抛物线问题时通常需要的时间步长),则有2的阶数障碍,即,使用任何形式的分裂,都无法获得收敛速度高于2。S. Blanes和F. Casas在最近的论文中提供了基本证明,网址为http://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf

但是,如果您对问题有更多了解,有几种解决方法:

  • 假设您可以在时间上向后求解方程(这对于例如Schrödinger方程来说很常见),那么可以进行许多拆分,请参阅Hairer,Lubich和Wanner撰写的《几何数值积分》一书。
  • 如果您的算子生成了解析半群,即您可以为t插入复数值(对于抛物线方程组是典型的),最近发现可以通过进入复数平面获得更高阶的分裂。关于此方向的第一篇文章由E. Hansen和A. Ostermann撰写,http://www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf和F. Castella,P. Chartier ,S。Descombes和G. Vilmart。在某种意义上,选择“最佳”的复杂拆分是当前研究的主题,您可以在arxiv上找到有关该主题的几篇论文。

总结:如果对问题做出一些假设,则可以得到一些结果,但是如果没有,则最大阶数为2。

PS .:由于防止垃圾邮件,我不得不删除与Castella等人论文的链接,但您可以在Google上轻松找到它。



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至少在原理上,可以通过频谱延迟校正方法来减小分裂误差。但是,这似乎是一个活跃的研究领域,并不是真正可以普遍使用的东西。


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