如何导出有限元方法的偏微分方程的弱公式？

我对有限元方法进行了基本介绍，但并未强调对“弱公式”的深入理解。我了解到，通过galerkin方法，我们将（椭圆形）PDE的两边乘以一个测试函数，然后进行积分（按部分或通过散度定理）。有时，在得出适当的弱公式（基于书后的答案）之前，我需要进行两次部分积分。但是，当我尝试将相同的概念应用于其他PDE时（可以说它们仍然与时间无关），我似乎无法识别该公式何时适合离散化。是否有任何“危险信号”可以告诉我该形式可以离散为线性方程组？

此外，如何选择一组适当的基础函数？

pde finite-element

— 保罗
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问问自己以下几点：

首先，零件的集成如何影响问题的可解决性和解决方案的空间？

其次，您可以针对哪个函数空间构建可以实现的一系列子空间（ansatz函数）？

让我们把泊松问题为，比方说，在，和均匀狄利克雷边界条件。通过整合，左侧和方程式的右边可以看作是有界函上，譬如说，我们有 $u'' = f$ $f \in L^2$ $[0,1]$ $L^2$ $\phi \in L^2$

和 $\phi \mapsto \int u'' \phi dx$ $\phi \mapsto \int f \phi dx$

由于任何函数都可以通过具有紧凑支持的平滑函数来近似为，因此，如果仅知道所有测试函数的值，则两个整数函数都是完全已知的。但是使用测试功能，您可以按部分执行集成，并将左侧转换为功能 $L^2$ $L^2$

$\phi \mapsto -\int u' \phi' dx$

读为：“我接受一个测试函数，计算其微分，并与[0,1]上的-u'相集成，然后返回结果。” 但是该函数未在上定义和限制，因为您无法求任意函数的微分。一般而言，它们看起来可能非常奇怪。 $\phi$ $L^2$ $L^2$

仍然我们观察到，该函数可以扩展到Sobolev空间，甚至是上的有界函数。这意味着，给定，可以粗略估计的值通过的倍数范数的。并且，此外，功能，当然，不仅限定的和有界上 $H^1$ $H_0^1$ $\phi \in H_0^1$ $\int -u' \phi' dx$ $H_0^1$ $\phi'$ $\phi \mapsto \int f \phi dx$ $L^2$ ，但也定义和限制在。 $H_0^1$

现在，您可以例如应用Lax-Milgram引理，因为它在任何PDE书中都有介绍。一本只能通过功能分析来描述它的有限元书，例如Ciarlet的经典著作或Braess的相当新的著作。

Lax-Milgram引理为PDE人员提供了一个很好的纯分析工具，但出于目的，他们也使用了许多陌生的工具。尽管如此，这些工具也与数值分析相关，因为您实际上可以为这些空间建立离散化。

例如，为了具有离散子空间，只需考虑hat函数。他们没有跳跃并且可以分段区分。它们的微分是分段常数矢量场。这种结构工作在，这很好，但是您能否提出一个ansatz空间，该空间的功能不仅具有梯度（很好，即，平方可积），而且其梯度又具有发散性？（再次，平方可积）。通常这很难。 $H_0^1$ $d=1,2,3,...$

因此，通常来说，构建弱公式的原因是，您希望应用Lax-Milgram引理，并希望具有可以实际实现功能的公式。（根据记录，Lax-Milgram既不是该上下文中的最后一个单词，也不是 ansatz离散化中的最后一个单词，请参见例如Discontinuous Galerkin方法。） $H_0^1$

对于混合边界条件，自然测试空间可能与您的搜索空间（在分析设置中）有所不同，但是我不知道如何不参考分布理论来描述它，因此我在这里停止。我希望这是有帮助的。

— 舒哈洛
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尽管这似乎是一个很好的答案，但我的普通大脑（实践工程师）无法理解数学上的严格性（以及所用的术语/引理等）。我想要一个外行对弱形式的解释。

— 克里希纳