具有不规则边界的域的有限差异

谁能帮助我找到有关泊松数值解（有限差分法和Crank-Nicolson方法）的书，以及包括不规则几何体（例如，由矩形和圆形之间的区域组成的区域）的扩散方程（尤其是书本或链接）在这种情况下的MATLAB代码示例）？

使有限差分方案适用于不规则几何的关键是要有一个“形状”矩阵，其值表示域的外部，内部和边界。假设我们的形状是这样的：

$$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix}$$

真实域（矩阵的所有非零项所在的地方）形成一个指向下方的三角形。1代表边界上的点，而2代表内部点（通常是未知的），我们可以如下分配节点号：

$$\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 7 & 8 & 9 & 10 & -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 11 & 12 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{matrix}$$

在此，-1表示边界位置。然后，您可以对矩阵中的所有条目运行有限差分方案，但是使用if语句仅在内部节点（从1到12）上执行方案。这种方法不是最有效的方法，但是它可以完成工作...如果您负担得起内存，最好存储所有内部节点的（i，j）条目并运行仅在那些节点上进行for循环。

要直接创建几何图形，您可以执行以下两项操作之一：
1.手动创建黑白图像，并将其导入到程序中（最容易实现，但无法细化空间分辨率dx或dy）。
2.编写代码，为您选择的任何空间分辨率创建想要的基本形状的离散表示（难以实现，但对于任何空间分辨率为dx或dy的常规有限差分方案，它都更健壮）。

如果您想了解更多有关如何执行此操作的信息，则可以考虑观看以下视频：
NPTEL计算机图形学课程，视频2（光栅图形）
NPTEL计算机图形学课程，视频3（光栅图形，续）签
出，然后让我知道这是否解决了您的问题。

我认为一本好书就是Hackbusch的书：

http://books.google.com/books/about/Elliptic_differential_equations.html?id=-ZPc_JYJFHgC&redir_esc=y

特别是ch。4.8，“任意域中的离散化”可能对您很有趣。该书的德语版可以免费（合法）下载。我不知道英语是否也适用。

我建议以下论文：

任意不规则网格的有限差分法及其在应用力学中的应用-Liszka Orkisz

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0045794980901492

可变网格的有限差分技术-Jensen

http://www.mendeley.com/research/finite-difference-techniques-variable-grids-7/

用广义有限差分法求解抛物线和双曲型方程-Benito Urena Gavete

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S037704270600687X

基本上，他们描述了如何为非结构化/不规则网格生成有限差分模板。我不知道有哪本书可以深入探讨这个特定主题，但是Randall LeVeque的书可能对此有所了解。这是作者网页的链接，其中包含一些Matlab m文件（用于有限差分）。

http://faculty.washington.edu/rjl/booksnotes.html

我认为使网格适合边界并因此偏离fdm的标准方形网格可能是一种解决方案，但对于使用高阶算法却有严重的含义-困难甚至并非不可能。我采用了另一种方法，即将矩形网格保留在弯曲的边界几何图形上，创建高阶算法，从边界插值以将值设置为“几何图形外部”，仅此而已。我们使用8阶算法通过此方法在〜1e-12的同心球测试几何中获得了精度。如果您要在Google上搜索“ Edwards，fdm弯曲边界”，那么您会发现我的作品的参考。

您是否可以使用自适应网格细化？快速的Google搜索将打开许多链接。例如，在流体动力学中使用AMR对通过复杂形状的流动进行建模。以及许多其他应用程序。这是解决恒星形成中双曲守恒定律系统的示例。几何形状非常复杂。本文的第一部分是一个不错的教程。 http://www.mpa-garching.mpg.de/lectures/ADSEM/SS05_Homann.pdf

这个问题打开了一罐蠕虫，从给出的各种答案可以明显看出。其中许多提出了有用的观点，但是一个真正有用的答案将考虑尚未提出的考虑因素。除了确定几何的确切性质之外，了解以下内容将很有价值：a）您需要哪种精度？b）是否要保留规则的正方形网格？c）您愿意在学习新技术上投入多少？

规则的正方形网格难以精确地定义边界，因此许多人会更改为符合标准的网格。具有矩形连通性的合格网格很难适应非常不规则的形状，因此许多人采用非结构化网格（三角形/四面体或更一般）。

对于任何不具有规则笛卡尔结构的数据，都很难评估导数，因此许多人以整数形式重新表达了他们的问题，这导致了有限元/有限体积方法（可以实现高阶）。有无网格方法。有边界元素方法。有浸入式边界方法。有切细胞方法。通常，由于大多数是历史原因，有一种方法在某些应用程序中很流行，但在另一些应用程序中却不受欢迎。

祝您在迷宫中导航时万事如意，但您必须意识到，没有一个万能的解决方案可以解决您的问题。