用矩阵参数解线性系统

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我们都熟悉解决标准线性系统的多种计算方法

A x = b .

$Ax=b.$ 但是，我很好奇是否有任何“标准”计算方法可以解决以下形式的更一般的（有限维）线性系统

L A = B,

$LA=B,$ 其中，是一个矩阵，是一个矩阵，而是将矩阵矩阵的线性算子，这不涉及向量化矩阵，即将所有内容转换为标准形式。

A

$A$

m_{1} \times n_{1}

$m_1\times n_1$

B

$B$

m_{2} \times n_{2}

$m_2\times n_2$

L

$L$

m_{1} \times n_{1}

$m_1\times n_1$

m_{2} \times n_{2}

$m_2\times n_2$

A x = b

$Ax=b$

我问的原因是我需要为解以下方程式： $u$

(R^{*} R + λ I) u = f

$(R^*R+\lambda I)u=f$ ，其中是2d Radon变换，其伴随元素，和均为2d数组（图像）。可以对这个方程进行矢量化处理，但这很痛苦，尤其是当我们使用3D时。

R

$R$

R^{*}

$R^*$

u

$u$

f

$f$

更一般而言，阵列呢？例如，求解，其中和是3D数组（在某些时候，我也需要使用Radon变换进行此操作）。 $nD$ $LA=B$ $A$ $B$

谢谢，如果您有需要，可以随时将我运送到另一个StackExchange。

linear-algebra

— icurays1
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1

您也许可以构建有效的多级预处理器，然后使用共轭梯度。我有一个类似的问题，其中这是非常有效且非常可并行化的。如果您需要直接方法，请考虑将本文的Lyapunov方程简化为舒尔

— Nick Alger

太好了，感谢裁判！我只是让CG有效地工作，所以我很高兴。

— icurays13年

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是的，您做对了，升级到3-D时确实可以正常工作。实际上，最简单的部分是内积-只需对等效的展开的向量执行标准点积。由于您仍然可能会连续存储数据，因此可以就地执行此操作。这甚至适用于复数向量空间-只需将复数值视为实数对即可。这是因为对于CG，您需要真正的内积。 $\mathbb{R}^n$ $\langle y, x\rangle\triangleq \mathop{\textrm{Re}}(y^Hx)$

使用通用线性运算符实现CG（或类似的迭代方法）时，必须注意的一件事是正确实现线性运算符的伴随。也就是说，人们经常正确地理解，但是实现犯错误。 $y=F(x)$ $z=F^*(y)$

我建议实施一个利用以下身份的简单测试：对于任何符合和，因此，您要做的是生成和随机值，分别通过正向和伴随运算运行它们，然后计算上面的两个内积。确保它们在合理的精度内匹配，并重复几次。 $x$ $y$

⟨ ÿ ， F （ X ） ⟩ = ⟨ F^{*} （ ÿ ） ， X ⟩ 。

$\langle y, F(x) \rangle = \langle F^*(y), x \rangle.$

x

$x$

y

$y$

编辑：如果您的线性算子应该对称，该怎么办？好吧，您也确实需要验证对称性。因此，使用相同的测试，只是注意 ---对和应用相同的操作。当然，OP具有不对称运算符和对称运算符来处理... $F=F^*$ $x$ $y$

— 迈克尔·格兰特
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谢谢@ChristianClason！我从经验中知道伴随计算中令人沮丧的错误。：)为此，我们在软件包TFOCS中实现了一个linop_test.m例程。该软件包还支持向量空间中的矩阵，数组和笛卡尔积。

— 迈克尔·格兰特

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事实证明，由于我的系统是对称且为正定的（因为我的线性算子写为），因此可以采用共轭梯度来迭代求解此类方程。唯一的修改是在计算内部乘积时进行的-即CG中的典型内部乘积计算看起来像或。在修改后的版本中，我们使用Frobenius内积，可以通过将Hadamard（逐点）积的项相加来计算。即 $R^*R+\lambda I$ $r_k^Tr_k$ $p_k^TAp_k$

⟨ A, B ⟩ = \sum_{i, j} A_{i j} B_{i j}

$\langle A,B\rangle=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$

我怀疑当我升级到3D阵列时，这种情况是否会通过，尽管我还没有看到在3D阵列上定义的Frobenius内部乘积（我会假设我可以再次对点积进行求和）。

如果有人知道的话，我仍然会对更通用的方法感兴趣！

— icurays1
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