Crank-Nicolson离散化是否维持了热方程的最大/最小原理？

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我正在使用Crank-Nicolson有限差分方案来求解一维热方程。我想知道热方程的最大/最小原理（即最大/最小发生在初始条件还是边界上）是否也适用于离散解。

Crank-Nicolson是一个稳定且收敛的方案，这可能暗示了这一点。但是，您似乎可以使用Crank-Nicolson模具创建的矩阵通过线性代数参数直接证明这一点。

我将不胜感激任何与此有关的文献资料。谢谢。

— 富巴巴兹
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嗨，foobarbaz，欢迎来到scicomp！我以为您正在解决的问题没有原始术语，对吗？

— 保罗

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对曲柄尼科尔森的最大原则将举行，如果为时间步长和网格间距。通常，我们可以考虑形式为的方案

μ ≐ \frac{k}{h^{2}} \leq 1

$\mu \doteq \frac{k}{h^2} \leq 1$

k

$k$

h

$h$

θ

$\theta$

，其中

是标准拉普拉斯矩阵和

。如果

u^{n + 1} = u^{n} + \frac{μ}{2} ((1 - θ) A u^{n} + θ A u^{n + 1})

$u^{n+1} = u^n + \frac{\mu}{2}\left( (1-\theta)Au^n + \theta Au^{n+1}\right)$

A

$A$

0 \leq θ \leq 1

$0 \leq \theta \leq 1$

，则方案是稳定的。（这可以很容易通过傅立叶技术来示出）。然而，较强的标准，即

μ (1 - 2 θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-2\theta) \leq \frac{1}{2}$

一般而言，最大原则需要

。

μ (1 - θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-\theta) \leq \frac{1}{2}$

有关证明，请参阅KW Morton的偏微分方程的数值解。特别是，请参阅第2.10节和2.11节以及定理2.2。

还有一种很好的方法可以看到，对Crank-Nicolson来说，最大原则在不限制情况下通常不会成立。 $\mu$

考虑在热方程用含3分，其中的边界的离散化。让表示在时间步和网格点处的离散化。假设Dirichlet边界，则对于所有，。然后Crank-Nicolson降为 $[0,1]$ $u_i^k$ $k$ $i$ $u^k_0 = u^k_2 = 0$ $k$ 它们可以被进一步减少到

（ 1个 - \frac{μ}{2} （ - 2 ） ） ü_{1个}^{ñ + 1个} = （ 1个 + \frac{μ}{2} （ - 2 ） ） ü_{1个}^{ñ} ，

$\left(1 - \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^{n+1}_1 = \left(1 + \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^n_1,$

ü_{1个}^{ñ + 1个} = （ \frac{1个 - μ}{1个 + μ} ） ü_{1个}^{ñ} 。

$u^{n+1}_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)u^n_1.$

如果我们考虑的初始条件，那么我们有 $u_1^0 = 1$

ü_{1个}^{ñ} = {（ \frac{1个 - μ}{1个 + μ} ）}^{ñ} ，

$u^n_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)^n,$

u_{1}^{n} \leq 1

$u^n_1 \leq 1$

u_{1}^{n} < 0

$u^n_1 < 0$

n

$n$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ

$\mu$

为了响应foobarbaz的请求，我添加了证明的草图。

\begin{aligned} （ 1个 + 2 θ μ ） ü_{Ĵ}^{ñ + 1个} & = θ μ （ ü_{Ĵ - 1个}^{ñ + 1个} + ü_{Ĵ + 1个}^{ñ + 1个} ） \\ + （ 1个 - θ ） μ （ ü_{Ĵ - 1个}^{ñ} + ü_{Ĵ + 1个}^{ñ} ） \\ + [1个 - 2 （ 1个 - θ ） μ] ü_{Ĵ}^{ñ} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &= \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j \end{align*}$

$\mu(1-\theta)\leq \frac{1}{2}$

$u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_{j-1}$ $u^{n+1}_{j+1}$ $u^n_{j-1}$ $u^n_{j+1}$ $u^n_j$ $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_j$

\begin{aligned} （ 1个 + 2 θ μ ） ü_{Ĵ}^{ñ + 1个} & > θ μ （ ü_{Ĵ - 1个}^{ñ + 1个} + ü_{Ĵ + 1个}^{ñ + 1个} ） \\ + （ 1个 - θ ） μ （ ü_{Ĵ - 1个}^{ñ} + ü_{Ĵ + 1个}^{ñ} ） \\ + [1个 - 2 （ 1个 - θ ） μ] ü_{Ĵ}^{ñ} \\ = （ 1个 + 2 θ μ ） ü_{Ĵ}^{ñ + 1个} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &> \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j\\ &= (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j \end{align*}$

$u^{n+1}_j$ $u$

— 本
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谢谢！除了莫顿，您是否还知道其他参考？我无法在Google图书预览中访问这些部分或定理。我想了解证明。

— foobarbaz

@foobarbaz我没有其他参考资料，但是我添加了证明的大纲。让我知道我是否可以说得更清楚。

— 奔

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稳定性意味着扰动会随时间而变化。这并不意味着在离散级别上满足最大原理，这是一个不同的问题。满足离散最大原理就足够了，但对于稳定性不是必需的。

— 克里斯
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