使用定点迭代解耦PDE系统

假设我有一个边值问题：

$$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega$$ $$\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega$$ $$u=h \text{ in } \partial\Omega$$

我的目标是将这个耦合问题的解决方案分解为一系列非耦合PDE。为了使系统解耦，我对一系列近似值应用定点迭代$(u^k,v^k)$以便

$$\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f$$ $$\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g$$

从理论上讲，这将使我能够将两个方程作为纯椭圆PDE求解。但是，我从未见过以这种方式将定点迭代应用于PDE。我已经看到定点迭代应用于数字离散方程（有限差分法，有限元方法等），但从未直接应用于连续方程。

我这样做违反了任何公然的数学原理吗？这在数学上有效吗？我可以通过使用应用于连续变量问题而不是离散变量问题的定点迭代来将耦合PDE求解为非耦合PDE的序列吗？

在这一点上，我并不真正在乎使用这种方法是否可行，而是在理论上是否可行。任何反馈将不胜感激！

$C^{\infty}(\Omega)\times C^{\infty}(\Omega)$

$$\frac{\text{d}^2u^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} v^{k-1}}{\text{d} x} =f\\ \frac{\text{d}^2v^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} u^{k-1}}{\text{d} x} =g\\ $$ （加上边界条件）。

显然，如果此序列收敛，它将是您原始PDE集的解决方案。

$x^k\to x^{k+1}$$u^0$$v^0$

$$\left\| \begin{pmatrix} u^k\\ v^k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^k\\ \hat{v}^k \end{pmatrix} \right\| \le q \left\| \begin{pmatrix} u^{k-1}\\ v^{k-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^{k-1}\\ \hat{v}^{k-1} \end{pmatrix} \right\|$$ $|q|<1$$(u^{k-1}, v^{k-1})$$(\hat{u}^{k-1}, \hat{v}^{k-1})$

此逻辑在连续空间和离散空间中均有效。