有限元奇摄动反应扩散问题的振动性

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当FEM-离散和解决的反应-扩散问题，例如，与（奇异扰动），离散问题的解决方案将典型地显示出振荡层与边界邻近的。与，和线性有限元素，将溶液模样

- ε Δ u + u = 1 on Ω u = 0 on \partial Ω

$- \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ on } \partial\Omega$

0 < ε ≪ 1

$0 < \varepsilon \ll 1$

Ω = (0, 1)

$\Omega = (0,1)$

ε = 10^{- 5}

$\varepsilon=10^{-5}$

u_{h}

$u_h$

奇摄动问题的解

我看到有很多关于对流引起的不良影响的文献（例如，迎风离散化），但是当涉及到反应时，人们似乎专注于精细的网格（Shishkin，Bakhvalov）。

是否存在避免这种振荡的离散化，即保持单调性？在这种情况下还有什么用？

finite-element discretization numerical-analysis singular-perturbation

— 尼科·施洛默（NicoSchlömer）
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中心差分方案不是因为导致M矩阵而保持单调性吗？

— 张晖

⟨ 1 ϕ_{i}, ϕ_{j} ⟩ > 0

$\langle 1 \phi_i, \phi_j\rangle > 0$

@HuiZhang在有限差异（以及有限体积）的情况下，您当然是正确的。我将调整答案以更清楚地说明我对有限元感兴趣。

— NicoSchlömer2013年

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不连续的Galerkin方法已因此类问题而变得非常流行-您是否看过Di Pietro和Ern的书？

— 克里斯蒂安·克拉森

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在您显示的情况下，解决方案具有边界层。如果由于网格太粗而无法解决问题，那么对于所有实际问题，该解决方案都不是数值方案。

$N$

$\varepsilon$ $h\rightarrow 0$

— 沃尔夫冈·邦格斯
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TL; DR：您的选择有限1）进行蛮力自适应以获取准确而昂贵的解决方案2）使用数值扩散获得较不准确但稳定的解决方案，或者（我最喜欢的）3）利用以下事实：这是一个奇异的摄动问题并解决两个便宜的内部/外部问题，让匹配的渐近线发挥作用！

如果确实必须为该问题获得统一的数值解，那么除了自适应网格细化之外，您实际上无能为力。您正面临一个奇异的摄动问题，该摄动问题形成了厚度为的边界层 $\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$

$x = \mathcal{O}(\delta)$ $\eta = x/\delta$

- Δ u_{i} + u_{i} = 1

$-\Delta u_i + u_i = 1$

$u(0) = 0$ $u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$ $u_o$ $x = \mathcal{O}(1)$ $u$ $1$ $u_0 = 1$ 轻松实现内部解决方案-在这种情况下甚至可以分析。

实际上，这是解决流体力学中层流边界层问题的（现在）非常流行的技术。实际上，如果您在高雷诺数下查看Navier-Stokes方程，就实际上面临着一个奇异的摄动问题，就像您在这里提到的那样，它会形成一个边界层（有趣的事实：摄动中的术语“边界层”分析实际上来自我刚刚描述的流体边界层问题。

$u_0 = 1$

— 研究生
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