为什么很难用数字方法求解与时间相关的多电子薛定ding方程

似乎人们通常使用单活性电子（SAE）近似来处理多电子系统，从而将问题转换为单电子问题。例如，在数值上解决氦原子与激光场相互作用的问题时，人们通常近似地包括由伪电势产生的电子-电子效应，并且本质上解决了一个电子问题。那么，为什么即使在数值上求解时间相关的多电子薛定ding方程也很困难？比经典的n体问题难得多吗？我已经看到，即使在实时上，也有很多巨大的经典体问题在天文学上得到了数值解决，例如，这里实时模拟两个涉及280000个粒子相互作用的星系的碰撞。$n$

是的，这样做要困难得多。为了$N$ 身体问题，您需要计算的只是轨迹 $\mathbf x_i(t), i=1\ldots N$ 只是 $N$ 单个变量的功能。

另一方面，即使对于单个电子，薛定inger方程的解也是一个函数 $\Psi(x,y,z,t)$，即四个变量的函数。对于两个电子，您正在寻找一个函数$\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_3,t)$将波函数描述为两个电子位置加时间的函数。那是七个变量。

现在，如果您还记得如何求解常微分方程，例如牛顿方程 $N$ 身体问题，那么您需要按时间逐步移动每个方程 $t$ 至 $t+\Delta t$并在那里计算解决方案。因此，如果您划分时间间隔$[0,T]$ 进入 $M$ 长度间隔 $\Delta t=T/M$ 那么每个步骤的努力将是 $N^2M$ 天真地实现了 $N$ 身体（您可以使用方法来实现 $N (\log N) M$ 努力，但这不重要。

另一方面，要找到7个变量的函数，请假定您将时间间隔细分为 $M$子间隔与上面相同，但是您对6个空间坐标也做了相同的操作。然后总共有$M^7$网格点要考虑。通常，对于$N$ 身体量子系统，你有 $M^{3N+1}$。

现在，即使是很小的数字，也很容易验证 $N,M$，努力 $M^{3N+1}$ 远远大于 $N^2M$，这解释了为什么多体量子计算比做如此昂贵得多 $N$ 人体经典力学。