在Matlab中使用ODE选择步长

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嘿，谢谢您抽出宝贵时间看我的问题。这是我先前在physics.stackexchange.com中发布的问题的更新版本

我目前正在研究2D激子旋量玻色-爱因斯坦凝聚物，并对这个系统的基态感到好奇。达到基态的数学方法称为虚时法。

其中在量子力学时间由假想一个替换方法是非常简单的这种取代导致在我的系统的高能量粒子衰减比低能量更快。在计算的每个步骤中重新归一化粒子数，我们最终得到了一个最低能量的粒子系统。基态。

t = - i τ

$t = -i \tau$

所讨论的方程是非线性的，称为非线性薛定ding方程，有时也称为Gross-Pitaevskii方程。为了解决该问题，我使用了Matlabs ode45，它可以使系统及时向前发展，并最终达到基态。

注意！非线性薛定ding方程包含拉普拉斯方程和空间中的其他一些微分项。这些都是使用快速傅立叶变换解决的。最后，我们只有一个时间ODE。*

我的问题和疑问：计算从到。ode45置于for循环中，因此它不会同时计算巨型向量。第一轮将以ode45（odefun，）开始，然后从 $t_0$ $t_f$ $[t_0,\dots,t_f]$ $[t_0, t_0+\Delta/2, t_0 + \Delta],y,\dots$ $t_0 + \Delta$ 。在这里，时间步长是我的问题。时间步长的不同选择为我提供了不同的基态解决方案，并且我不知道如何确定哪个时间步长为我提供了“最”正确的基态！ $\Delta$

我的尝试：我意识到在此方案中，较大的时间步长将导致大量粒子在重新归一化为原始数量的粒子之前衰减，而较小的时间步长将导致更少量的粒子在重新归一化之前衰减。我最初的想法是，较小的时间步长应该提供更准确的解决方案，但这似乎是相反的。

我不是数值专家，因此ode45的选择完全是任意的。ode113给了我同样的事情。:(

有没有人对此事有任何想法。让我知道是否需要其他详细信息。

谢谢。

更新1： 我一直在研究假想时间方法和ODE。看来，如果时间步长不够小，整个事情就会变得不稳定。这使我想知道我的非线性方程是否僵硬，这使我理解的事情变得更加困难。我会及时通知你的。

更新2： 修复：问题的确是在ODE之外进行了标准化。如果规范化保持在odefun内，则ODE将为“外部”时间步长的不同选择返回相同的结果。我的同事给我看了旧的代码，我只是在我的odefun中添加了一行。

function y_out = odefun(t,y_in,...variables...) 

    ...
    [ Nonlinear equations evaluated ]  
    ...


    y_out = y_out + 0.1*y_in*(N0-Ntemp) ;
end

最后一行计算当前粒子数（Ntemp）和系统应保留的粒子数（N0）之差。它将一部分粒子加回到输出中，从而在系统中创建总粒子数稳定性，而不是让它们全部衰减掉。

我还将提出一个新的问题，即问题的维度以及在ODE中使用皮秒或纳秒作为时间步长时的一些差异。

谢谢你们。:)

matlab ode quantum-mechanics

3

根本的问题是，您正在强制使用自适应方法，例如ode45()采取等距步骤。确切地说，为什么要避免生成“巨型向量”？如果绝对需要等距点，ode45()请照常进行操作，然后使用插值。

— JM

y

$y$

如果有内存，则应该有一个选项ode45()可以保留大于某个阈值的步长；您可能需要调查一下。

— JM

1

答案是仅使用局部误差估计。ODE45内置了一个，所以最简单的方法就是使用它，但是您也可以自己编写一个。

— David Ketcheson

1

0.1

$0.1$

1 / time

$1/\text{time}$

\frac{α}{Δ t} \cdot (N_{t} - N_{0})

$\frac{\alpha}{\Delta t} \cdot (N_t - N_0)$

Δ t

$\Delta t$

4

由于您没有发布MATLAB代码，因此我不确定您如何调用ode45。我猜想您正在更改对ode45的每次调用的tspan向量（第二个参数）。首先要了解的是，tspan向量对ode45使用的时间步长几乎没有影响。tspan向量仅允许您将积分的时间跨度以及需要输出的时间传递给ode45。内部调整ode45中Runga-Kutta算法使用的时间步长，以达到规定的精度。控制此精度的两个参数是传递给ode45的选项结构中的RelTol和AbsTol。它们具有合理的默认值，并且由于您没有提及这些默认值，因此我假设您没有更改它们。

我说“几乎”对正常的ode45时间步没有影响。如果您要以相对于ode45所需要的时间步长非常小的时间间隔请求输出，则必须减少时间步长才能满足您的输出请求。我相信这就是JM假设正在发生的事情。为什么需要这么多输出时间的解决方案？通常，仅在足够的时间请求输出以生成平滑图就足够了。

至于您看到的解决方案更改，也许RelTol和AbsTol的默认值不适合您的问题。我建议用一个调用替换ode45上的循环，以合理的次数请求输出，并尝试使用较小的RelTol和AbsTol值，直到获得收敛的解决方案。

— 比尔·格林
source

谢谢你的回答。我需要这么多输出时间的解决方案的原因是，如果wave函数没有定期归一化，那么一切都会衰减，我的系统会空着。这就是为什么我将ode45放入带有较小tspan向量的循环中，以便可以在每个tspan向量后重新进行规范化。

2

由于非线性Schrödinger方程是非线性的，因此它可以具有大量的稳态，其中某些稳态是稳定的。在物理现实中，从一种特定状态开始，系统将确定性地演化为一种最终状态。如果数值方案为不同的离散化（时间步长）提供了不同的结果，那么这就是离散化的根本缺陷。检查您的代码。

$\psi_0$

\frac{d ψ}{d t} = F (ψ),

$\frac{\text{d}\psi}{\text{d}t} = F(\psi),$

F (ψ_{0}) = 0.

$F(\psi_0) = 0.$

G (ψ) = \int_{Ω} E (ψ)

$G(\psi) = \int_\Omega E(\psi)$

E (\cdot)

$E(\cdot)$

F (ψ) = 0

$F(\psi)=0$

E (ψ)

$E(\psi)$

E (ψ) = - | ψ |^{4}

$E(\psi) = -|\psi|^4$

— 尼科·施洛默（NicoSchlömer）
source

是。我绘制了输出解决方案的密度分布图，当它长时间不变化（基本上停止发展）时，我假设我已经达到了稳态。但是我不确定查看能量密度是否会有所帮助，因为波动函数是具有（+ 2，+ 1，-1，-2）自旋分量的自旋子。我认为集成每个组件不会告诉我冷凝水的能量，但是当我进入基态时，能量密度应该是固定的，因此时间是恒定的，这是正确解决方案的线索。

1

问题解决了：

标准化需要成为ODE中评估的功能的一部分。将ODE分解为多个步骤并在它们之间进行归一化会导致看似数值不稳定，并根据将ODE分解成的时间间隔而产生不同的结果。（有关更多详细信息，请参见有问题的编辑2。）