用于Matrix表达式的符号软件包？

我们知道是对称且正定的。我们知道是正交的：$\mathbf A$$\mathbf B$

问题：对称且正定的吗？答：可以。$\mathbf B \cdot\mathbf A \cdot\mathbf B^\top$

问题：电脑可以告诉我们吗？答：可能吧。

是否存在处理和传播有关矩阵的已知事实的符号代数系统（例如Mathematica）？

编辑：明确地说，我问这个问题关于抽象定义的矩阵。即我没有和显式条目，我只知道它们都是矩阵，并且具有特殊的属性，例如对称，正定等。$A$$B$

编辑：这现在在SymPy中

$ isympy
In [1]: A = MatrixSymbol('A', n, n)
In [2]: B = MatrixSymbol('B', n, n)
In [3]: context = Q.symmetric(A) & Q.positive_definite(A) & Q.orthogonal(B)
In [4]: ask(Q.symmetric(B*A*B.T) & Q.positive_definite(B*A*B.T), context)
Out[4]: True

显示其他工作的较早答案

因此，在研究了一段时间之后，这就是我所发现的。

我对特定问题的当前答案是“不，目前没有系统可以回答此问题。” 但是，有些事情似乎即将结束。

首先，马特·克奈普利（Matt Knepley）和拉格巴（Lagerbaer）都指出了迭戈·法布雷加特（Diego Fabregat）和保罗·本蒂内西（Paolo Bientinesi）的工作。这项工作表明了该问题的潜在重要性和可行性。这是一本好书。不幸的是，我不确定他的系统是如何工作的，或者它的功能是什么（如果有人知道关于该主题的其他公开材料，请告诉我）。

其次，有一个为Mathematica编写的张量代数库，称为xAct，它可以对称地处理对称性。它在某些方面做得很好，但不适用于线性代数的特殊情况。

第三，将这些规则正式记录在Coq（一个自动定理证明助手）的几个库中（Google搜索coq线性/矩阵代数以找到一些）。这是一个功能强大的系统，不幸的是，这似乎需要人工干预。

在与一些定理证明者交谈之后，他们建议针对这种事情研究逻辑编程（即Prolog，Lagerbaer也提出了建议）。据我所知，这还没有完成-我将来可能会玩。

更新：我已经使用Maude系统实现了这一点。我的代码托管在github上

一些符号矩阵计算（例如，块矩阵完成）可以使用NCAlgebra程序包http://www.math.ucsd.edu/~ncalg/（在mathematica下运行）完成。

Bergman http://servus.math.su.se/bergman/是Lisp中具有类似功能的软件包。

一些相关的论文：http:
//math.ucsd.edu/~helton/osiris/COMPALG2000/ohRevisIJC.pdf
http://math.ucsd.edu/~thesis/thesis/dkronewitter/dkronewitter.pdf
http：// www。 tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00207170600882346

我想大多数CAS系统可以显示本作2x2和3x3矩阵给出一个象征性的正交结构，比如旋转矩阵。最后，您将必须分解结果以弄清楚它是否为正定。对称性更容易显示。$\mathbf B$

问题就变成了，N尺寸矩阵又如何呢？也许您可以提出一个归纳方案，N-1 x N-1假设for 为真，然后构造一个具有整体大小的新块矩阵，N x N以证明它是正定的和对称的。

因此，最后一个问题是，哪种软件最适合该任务（如果有），我的经验是使用MATLAB/MuPad和Derive（仍在使用它），而且它们都不能很好地处理矢量和矩阵。MATLAB将所有内容分解为组件，Derive可以声明，Non-scalars但不对它们应用任何简化规则。

我希望这篇文章能为这种“漏洞”及其填充方法提供更多的见识。对我来说，我想要一些软件来帮助我简化向量的多个点和叉积，以及旋转矩阵使用众所周知的身份，例如：$\vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec b)\vec c - (\vec a \cdot \vec c) \vec b$

自从我上次使用这两个软件包以来已经有一段时间了，但是我认为您可以通过使用断言以Mathematica之类的语言来实现。诸如Assert [A，Symmetric]之类的内容告诉Mathematica A是对称矩阵，依此类推。我目前无法使用任何一个，因此必须对此进行检查。

枫15无法做到这一点。对于矩阵，它没有属性“正交”（尽管它具有Symmetric和PositiveDefinite）。

在Mathematica中，您至少可以检查特定矩阵的这些属性。例如，A您描述的矩阵：

In[1]:= A = {{2.0,-1.0,0.0},{-1.0,2.0,-1.0},{0.0,-1.0,2.0}};
        {SymmetricMatrixQ[A],PositiveDefiniteMatrixQ[A]}
Out[2]= {True,True}

对于矩阵B：

In[3]:= B = {{0, -0.80, -0.60}, {0.80, -0.36, 0.48}, {0.60, 0.48, -0.64}};
        Transpose[B] == Inverse[B]
Out[4]= True

然后：

In[5]:= c = B.A.Transpose[B];
        {SymmetricMatrixQ[c],PositiveDefiniteMatrixQ[c]}
Out[6]= {True,True}

Mathematica矩阵和线性代数文档