矩阵求逆的“辅助因子技术”是否有实际意义？

标题就是问题。该技术涉及使用“辅因子矩阵”或“辅助矩阵”，并为方矩阵逆矩阵的成分提供了明确的公式。对于大于的矩阵，手工操作并不容易 $3\times 3$ 。对于一个 $n\times n$ 矩阵，它需要计算矩阵本身的行列式和计算 $n^2$ 决定因素 $(n-1)\times(n-1)$ 矩阵。因此，我猜测它对应用程序没有太大用处。但我想确认。

我并不是在问技术证明矩阵定理的理论意义。

linear-algebra matrix complexity

— 史蒂芬·史密斯
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Answers:

您是对的-它与计算绝对没有实际意义。即使计算行列式是运算，该方法的复杂度也将至少为，因此，其复杂度与高斯消去相同。实际上，计算矩阵的行列式实际上是指数复杂的，这使得该方法完全不可用。 $O(n)$ $O(n^3)$

— 沃尔夫冈·邦格斯
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O (n!)

$O(n!)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n!)

$O(n!)$

det (A B) = det (A) det (B)

$\det(\mathbf A\mathbf B)=\det(\mathbf A)\det(\mathbf B)$

O (n^{3})

$O(n^3)$

是的，您是正确的-行列式可以以分解为代价进行计算。（使用递归扩展在教科书中显示的幼稚方式在是指数式的-Paul提到的复杂度）。但这对于所提出的算法仍然产生的整体复杂性-远远超过了高斯消除（如果要使用它的话），甚至甚至超过了迭代求解器。

L U

$LU$

n

$n$

n!

$n!$

O (n^{5})

$O(n^5)$

— Wolfgang Bangerth

正确。行减少是计算分解的一半。它将减小为因子。另一半的工作是从单位矩阵开始做相同的操作，得到矩阵。的确，如果您只关心决定因素，则可以避免后者。

L U

$LU$

A

$A$

U

$U$

L

$L$

— Wolfgang Bangerth 2013年

我反对人群-辅助矩阵实际上对于某些维数较小（例如小于等于4）的特殊应用非常有用，尤其是在您需要矩阵逆但不关心比例的情况下。

两个示例包括针对非常小的问题的单应性逆计算和瑞利商迭代的计算（除了通过使用辅助词进行简化外，在数值上更好）。

— 无篮子
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我完全同意，在某些情况下（通常在较小的矩阵中）有很大帮助！（例如，用于计算小的单纯形中的重心坐标）

— BrunoLevy